Номер 10, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите расстояние между нулями функций $y=\sqrt{x-1}-5$ и $y=x^3+8$.

Для того чтобы найти расстояние между нулями двух функций, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти нуль (корень) первой функции.
2. Найти нуль (корень) второй функции.
3. Вычислить расстояние между найденными нулями как модуль их разности.

1. Нахождение нуля функции $y = \sqrt{x-1} - 5$

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Приравняем функцию к нулю:

$\sqrt{x-1} - 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$\sqrt{x-1} = 5$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-1})^2 = 5^2$

$x - 1 = 25$

Найдем $x$:

$x_1 = 25 + 1 = 26$

Таким образом, нуль первой функции равен 26.

2. Нахождение нуля функции $y = x^3 + 8$

Аналогично, приравняем вторую функцию к нулю:

$x^3 + 8 = 0$

Перенесем 8 в правую часть уравнения:

$x^3 = -8$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x_2 = \sqrt[3]{-8}$

$x_2 = -2$

Таким образом, нуль второй функции равен -2.

3. Нахождение расстояния между нулями функций

Мы нашли нули функций: $x_1 = 26$ и $x_2 = -2$. Расстояние $d$ между двумя точками на числовой прямой вычисляется по формуле модуля их разности:

$d = |x_1 - x_2|$

Подставим найденные значения:

$d = |26 - (-2)| = |26 + 2| = |28| = 28$

Ответ: 28