Номер 7, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Выберите все нечетные функции:

1) $y = -7x^3;$

2) $y = \frac{x}{|x|};$

3) $y = -\sqrt{2x};$

4) $y = |x - 5| + |x + 5|;$

5) $y = -6|x| - 8.$

а) 1); 2);

б) 4); 5);

в) 1); 2); 3);

г) 1); 3); 4);

д) 1); 2); 5).

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. При этом область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат.

Проверим каждую из предложенных функций на нечетность.

1) $y = -7x^3$
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -7(-x)^3 = -7(-x^3) = 7x^3$. Найдем $-y(x)$: $-y(x) = -(-7x^3) = 7x^3$. Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

2) $y = \frac{x}{|x|}$
Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{-x}{|-x|} = \frac{-x}{|x|} = - \frac{x}{|x|}$. Найдем $-y(x)$: $-y(x) = -(\frac{x}{|x|}) = - \frac{x}{|x|}$. Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

3) $y = -\sqrt{2x}$
Область определения функции задается условием $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$. Область определения не является симметричной относительно нуля, так как содержит положительные числа, но не содержит соответствующие им отрицательные. Например, $x=1 \in D(y)$, но $x=-1 \notin D(y)$. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция не является нечетной.

4) $y = |x-5| + |x+5|$
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = |-x-5| + |-x+5| = |-(x+5)| + |-(x-5)| = |x+5| + |x-5| = y(x)$. Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной, а не нечетной.
Ответ: функция не является нечетной.

5) $y = -6|x| - 8$
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -6|-x| - 8 = -6|x| - 8 = y(x)$. Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной, а не нечетной.
Ответ: функция не является нечетной.

Таким образом, нечетными являются функции под номерами 1 и 2.

Правильный вариант ответа: а) 1); 2);