Номер 14, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите сумму двух чисел, разность которых равна 40, а произведение — наименьшее из возможных.

Обозначим два искомых числа как $x$ и $y$.

По условию задачи, их разность равна 40. Составим первое уравнение:

$x - y = 40$

Из этого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 40$

Также по условию, их произведение должно быть наименьшим. Обозначим произведение как $P$:

$P = x \cdot y$

Чтобы найти наименьшее значение произведения, подставим выражение для $x$ в формулу для $P$. Это позволит нам получить функцию, зависящую только от одной переменной $y$:

$P(y) = (y + 40) \cdot y$

$P(y) = y^2 + 40y$

Мы получили квадратичную функцию $P(y) = y^2 + 40y$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $y^2$ (равен 1) положительный. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(t) = at^2 + bt + c$, можно найти по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $P(y) = y^2 + 40y$ коэффициенты равны $a = 1$ и $b = 40$. Найдем значение $y$, при котором произведение будет наименьшим:

$y = -\frac{40}{2 \cdot 1} = -20$

Теперь, зная значение $y$, найдем соответствующее значение $x$:

$x = y + 40 = -20 + 40 = 20$

Итак, мы нашли два числа: 20 и -20. Их разность равна $20 - (-20) = 40$, а их произведение $20 \cdot (-20) = -400$ является наименьшим возможным.

В задаче требуется найти сумму этих чисел:

$x + y = 20 + (-20) = 0$

Ответ: 0