Номер 4, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Вычислите: $\sin\left(-\frac{14\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sin^2\frac{29\pi}{4}} - \text{tg}^2\frac{3\pi}{4}.

а) $-\frac{2+\sqrt{3}}{2};$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $1;$

г) $\frac{\sqrt{3}-2}{2};$

д) $\frac{2-\sqrt{3}}{2}.$

Для того чтобы вычислить значение данного выражения, необходимо последовательно рассчитать каждый его компонент.

Вычисление $\sin(-\frac{14\pi}{3})$:

1. Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{14\pi}{3}) = -\sin(\frac{14\pi}{3})$.
2. Для упрощения аргумента выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{14}{3}$. Целая часть от деления 14 на 3 равна 4. Таким образом, $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.
Это позволяет представить угол в виде: $\frac{14\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3}$.
3. Период функции синус равен $2\pi$, поэтому $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$. В нашем случае $4\pi$ — это два полных периода, которые можно отбросить.
$-\sin(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3})$.
4. Табличное значение $\sin(\frac{2\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычисление $\frac{1}{\sin^2\frac{29\pi}{4}}$:

1. Сначала найдем значение $\sin(\frac{29\pi}{4})$.
2. Выделим целую часть из дроби $\frac{29}{4}$. Целая часть от деления 29 на 4 равна 7. Таким образом, $\frac{29}{4} = 7\frac{1}{4}$.
Угол можно представить как: $\frac{29\pi}{4} = 7\pi + \frac{\pi}{4}$.
3. Используем формулы приведения: $\sin(7\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(6\pi + \pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4})$.
Поскольку $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем: $\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Теперь возведем полученное значение в квадрат:
$\sin^2(\frac{29\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
5. Вычислим значение всего члена выражения:
$\frac{1}{\sin^2\frac{29\pi}{4}} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Ответ: 2.

Вычисление $\text{tg}^2\frac{3\pi}{4}$:

1. Найдем значение $\text{tg}(\frac{3\pi}{4})$.
2. Используя формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$, получаем:
$\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.
3. Возведем результат в квадрат:
$\text{tg}^2\frac{3\pi}{4} = (-1)^2 = 1$.
Ответ: 1.

Итоговый результат:

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\sin(-\frac{14\pi}{3}) + \frac{1}{\sin^2\frac{29\pi}{4}} - \text{tg}^2\frac{3\pi}{4} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 - 1$
$(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.
Полученный результат соответствует варианту д).