Номер 15, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Найдите наименьшее значение функции

$f(x)=(x-1)(x-7)(x-4)(x+2)+100.$

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = (x-1)(x-7)(x-4)(x+2) + 100$ преобразуем данное выражение. Сгруппируем множители таким образом, чтобы при их попарном перемножении получились выражения с одинаковыми первыми двумя слагаемыми.

Заметим, что сумма свободных членов в парах множителей $(x-1)$ и $(x-4)$ равна $(-1) + (-4) = -5$, и в парах $(x-7)$ и $(x+2)$ также равна $(-7) + 2 = -5$. Это позволит нам сделать удобную замену. Перегруппируем множители:

$f(x) = \left((x-1)(x-4)\right) \left((x-7)(x+2)\right) + 100$

Теперь перемножим скобки в каждой группе:

$(x-1)(x-4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$

$(x-7)(x+2) = x^2 + 2x - 7x - 14 = x^2 - 5x - 14$

Подставим полученные выражения обратно в функцию:

$f(x) = (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x - 14) + 100$

Для упрощения выражения введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 5x$. Тогда функция примет вид квадратичной функции от $t$:

$g(t) = (t + 4)(t - 14) + 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$g(t) = t^2 - 14t + 4t - 56 + 100$

$g(t) = t^2 - 10t + 44$

Мы получили квадратичную функцию $g(t)$, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине. Найдем наименьшее значение, выделив полный квадрат:

$g(t) = (t^2 - 10t + 25) - 25 + 44 = (t-5)^2 + 19$

Наименьшее значение выражения $(t-5)^2$ равно 0 (поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен). Это значение достигается при $t=5$.

Следовательно, наименьшее значение функции $g(t)$ равно $0 + 19 = 19$.

Остается проверить, достижимо ли значение $t=5$. Для этого нужно убедиться, что уравнение $x^2 - 5x = 5$ имеет действительные корни.

Перепишем уравнение: $x^2 - 5x - 5 = 0$.

Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$.

Поскольку $D = 45 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что значение $t=5$ является достижимым.

Таким образом, наименьшее значение исходной функции $f(x)$ равно наименьшему значению функции $g(t)$, то есть 19.

Ответ: 19