Номер 7, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите значение выражения

$4 \sin 20^\circ + \text{tg} 20^\circ$.

a) $\sqrt{3}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) 2;

д) 4.

Для нахождения значения выражения $4\sin20^\circ + \tan20^\circ$ выполним следующие преобразования.

1. Заменим $\tan20^\circ$ на отношение $\frac{\sin20^\circ}{\cos20^\circ}$:
   $4\sin20^\circ + \frac{\sin20^\circ}{\cos20^\circ}$
2. Приведём выражение к общему знаменателю:
   $\frac{4\sin20^\circ\cos20^\circ + \sin20^\circ}{\cos20^\circ}$
3. Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Тогда $4\sin20^\circ\cos20^\circ = 2 \cdot (2\sin20^\circ\cos20^\circ) = 2\sin(2 \cdot 20^\circ) = 2\sin40^\circ$. Подставим это в числитель:
   $\frac{2\sin40^\circ + \sin20^\circ}{\cos20^\circ}$
4. Представим $2\sin40^\circ$ в виде суммы $\sin40^\circ + \sin40^\circ$:
   $\frac{\sin40^\circ + \sin40^\circ + \sin20^\circ}{\cos20^\circ}$
5. Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ к слагаемым $\sin40^\circ + \sin20^\circ$:
   $\sin40^\circ + \sin20^\circ = 2\sin\frac{40^\circ+20^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-20^\circ}{2} = 2\sin30^\circ\cos10^\circ$
6. Зная, что $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
   $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos10^\circ = \cos10^\circ$
7. Теперь числитель исходного выражения можно записать как $\sin40^\circ + \cos10^\circ$. Всё выражение примет вид:
   $\frac{\sin40^\circ + \cos10^\circ}{\cos20^\circ}$
8. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:
   $\cos10^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \sin80^\circ$
9. Подставляем это в числитель:
   $\frac{\sin80^\circ + \sin40^\circ}{\cos20^\circ}$
10. Снова применяем формулу суммы синусов к числителю:
    $\sin80^\circ + \sin40^\circ = 2\sin\frac{80^\circ+40^\circ}{2}\cos\frac{80^\circ-40^\circ}{2} = 2\sin60^\circ\cos20^\circ$
11. Зная, что $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
    $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos20^\circ = \sqrt{3}\cos20^\circ$
12. Подставляем полученное выражение в дробь и выполняем сокращение:
    $\frac{\sqrt{3}\cos20^\circ}{\cos20^\circ} = \sqrt{3}$

Таким образом, значение выражения равно $\sqrt{3}$. Это соответствует варианту ответа а).

Ответ: а) $\sqrt{3}$