Номер 11, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите значение выражения $9\sin^4\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right)$, если $\cos(\pi - 4\alpha) = -\frac{1}{3}$.

Для решения данной задачи необходимо последовательно упростить данное и искомое выражения, а затем, используя тригонометрические формулы, найти ответ.

1. Упрощение искомого выражения.

Искомое выражение: $9\sin^4\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)$.
В нашем случае, аргумент $x = 2\alpha$, следовательно:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) = -\cos(2\alpha)$

Подставим это в исходное выражение:

$9\sin^4\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) = 9\left(-\cos(2\alpha)\right)^4$

Поскольку возведение в четную степень (4) убирает знак минус, получаем:

$9\cos^4(2\alpha)$

2. Упрощение заданного условия.

Дано условие: $\cos(\pi - 4\alpha) = -\frac{1}{3}$.
Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$.
В нашем случае, аргумент $x = 4\alpha$, следовательно:

$\cos(\pi - 4\alpha) = -\cos(4\alpha)$

Таким образом, условие принимает вид:

$-\cos(4\alpha) = -\frac{1}{3}$

Отсюда находим, что:

$\cos(4\alpha) = \frac{1}{3}$

3. Вычисление конечного значения.

Теперь нам нужно найти значение выражения $9\cos^4(2\alpha)$, зная, что $\cos(4\alpha) = \frac{1}{3}$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2A) = 2\cos^2(A) - 1$.
Применим её для $\cos(4\alpha)$, представив его как $\cos(2 \cdot 2\alpha)$. Здесь $A = 2\alpha$.

$\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1$

Подставим известное нам значение $\cos(4\alpha) = \frac{1}{3}$:

$\frac{1}{3} = 2\cos^2(2\alpha) - 1$

Теперь выразим и найдем $\cos^2(2\alpha)$:

$2\cos^2(2\alpha) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$

$\cos^2(2\alpha) = \frac{4}{3} \div 2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Наконец, подставим найденное значение в упрощенное искомое выражение:

$9\cos^4(2\alpha) = 9\left(\cos^2(2\alpha)\right)^2 = 9\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$

Ответ: 4