Номер 3, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Найдите количество корней уравнения $2\operatorname{tg}x + 1 = -3\operatorname{ctg}(-x)$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 5.

Для решения данного тригонометрического уравнения и нахождения количества его корней на указанном промежутке выполним следующие действия:

1. Упрощение уравнения

Исходное уравнение: $2\tg x + 1 = -3\ctg(-x)$.

Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс: $\ctg(-x) = -\ctg x$.

Подставив это в уравнение, получаем:

$2\tg x + 1 = -3(-\ctg x)$

$2\tg x + 1 = 3\ctg x$

2. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Уравнение содержит функции $\tg x$ и $\ctg x$.

• $\tg x$ определен при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• $\ctg x$ определен при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

На заданном промежутке $x \in (-\frac{\pi}{2}; \pi]$ необходимо исключить точки $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\pi$, так как в этих точках одна из функций не определена. Таким образом, мы ищем корни в объединении интервалов $(-\frac{\pi}{2}; 0) \cup (0; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

3. Решение уравнения

Выразим котангенс через тангенс, используя тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (это допустимо, так как из ОДЗ следует, что $\tg x \neq 0$):

$2\tg x + 1 = \frac{3}{\tg x}$

Введем замену переменной $y = \tg x$. Уравнение примет вид:

$2y + 1 = \frac{3}{y}$

Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$):

$2y^2 + y = 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 + y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

4. Поиск корней уравнения на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi]$

Теперь выполним обратную замену и найдем значения $x$.

Случай 1: $\tg x = 1$

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, попадающие в интервал $(-\frac{\pi}{2}; \pi]$:

• При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит интервалу.
• При $n \ge 1$ или $n \le -1$, корни выходят за пределы заданного интервала.

Итак, из первого случая мы получаем один корень: $x_1 = \frac{\pi}{4}$.

Случай 2: $\tg x = -\frac{3}{2}$

Общее решение этого уравнения: $x = \text{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi n$, или $x = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, попадающие в интервал $(-\frac{\pi}{2}; \pi]$:

• При $n=0$, $x = -\text{arctg}(\frac{3}{2})$. Поскольку $0 < \text{arctg}(\frac{3}{2}) < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -\text{arctg}(\frac{3}{2}) < 0$. Этот корень принадлежит интервалу.
• При $n=1$, $x = \pi - \text{arctg}(\frac{3}{2})$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \pi - \text{arctg}(\frac{3}{2}) < \pi$, этот корень также принадлежит интервалу.
• При других целых значениях $n$ корни выходят за пределы заданного интервала.

Из второго случая мы получаем два корня: $x_2 = -\text{arctg}(\frac{3}{2})$ и $x_3 = \pi - \text{arctg}(\frac{3}{2})$.

5. Итог

Суммируя найденные корни, получаем:

1. $x_1 = \frac{\pi}{4}$
2. $x_2 = -\text{arctg}(\frac{3}{2})$
3. $x_3 = \pi - \text{arctg}(\frac{3}{2})$

Все три корня различны и принадлежат заданному промежутку. Следовательно, общее количество корней равно 3.

Ответ: в) 3