Номер 10, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите (в градусах) сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $8\sin^4 x + 13\cos(2x) = 7$, принадлежащих интервалу $[-215^\circ; -180^\circ]$.

Для решения уравнения $8\sin^4 x + 13\cos(2x) = 7$ приведем его к одному тригонометрическому аргументу и одной функции. Удобнее всего выразить все через $\cos(2x)$.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Тогда $\sin^4 x$ будет равен квадрату этого выражения:

$\sin^4 x = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$8 \cdot \left(\frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\right) + 13\cos(2x) = 7$

Сократим дробь:

$2(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) + 13\cos(2x) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 4\cos(2x) + 2\cos^2(2x) + 13\cos(2x) = 7$

$2\cos^2(2x) + 9\cos(2x) - 5 = 0$

Введем замену переменной $t = \cos(2x)$. Так как значение косинуса лежит в пределах от -1 до 1, то $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 + 9t - 5 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

$t_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$

$t_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, единственное решение для $t$ это $t_2 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение данного тригонометрического уравнения в градусах имеет вид:

$2x = \pm 60^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Разделив на 2, получим общее решение для $x$:

$x = \pm 30^\circ + 180^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному интервалу $[-215^\circ; -180^\circ]$. Для этого рассмотрим обе серии корней.

Серия 1: $x = 30^\circ + 180^\circ \cdot n$

$-215 \le 30 + 180n \le -180$

$-245 \le 180n \le -210$

$-\frac{245}{180} \le n \le -\frac{210}{180}$

$-1.36... \le n \le -1.16...$

В этом промежутке нет целых значений $n$.

Серия 2: $x = -30^\circ + 180^\circ \cdot n$

$-215 \le -30 + 180n \le -180$

$-185 \le 180n \le -150$

$-\frac{185}{180} \le n \le -\frac{150}{180}$

$-1.027... \le n \le -0.833...$

В этом промежутке есть единственное целое значение $n = -1$.

Найдем корень, подставив $n = -1$ в формулу серии:

$x = -30^\circ + 180^\circ \cdot (-1) = -30^\circ - 180^\circ = -210^\circ$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -210^\circ$ интервалу $[-215^\circ; -180^\circ]$: $-215^\circ \le -210^\circ \le -180^\circ$. Условие выполняется.

Таким образом, на заданном интервале есть только один корень. Сумма корней (в данном случае сам корень) равна -210°.