Номер 7, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите (в градусах) сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

а) $-15^\circ$;

б) $30^\circ$;

в) $15^\circ$;

г) $45^\circ$;

д) $35^\circ$.

Для решения уравнения $ \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) $ необходимо привести обе части к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $ \cos(\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Применим формулу к правой части уравнения:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) $$

Теперь уравнение имеет вид:

$$ \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) $$

Это уравнение вида $ \sin(A) = \sin(B) $, которое равносильно совокупности двух серий решений, где $ k \in Z $ (целые числа):

1) $ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + x + 2\pi k $

$$ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies 2x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k \implies 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi k $$

2) $ 3x - \frac{\pi}{6} = \pi - \left(\frac{\pi}{6} + x\right) + 2\pi k $

$$ 3x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} - x + 2\pi k \implies 4x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $$

Теперь найдем наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения, подставляя различные целые значения $k$.

Поиск корней:

• Для серии $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $:
  • При $ k = -1 $, $ x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} $.
  • При $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{6} $.
• Для серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $:
  • При $ k = -1 $, $ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} $.
  • При $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{4} $.

Выбор искомых корней:

Наибольший отрицательный корень: Сравниваем $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{4} $. Поскольку $ -\frac{\pi}{4} > -\frac{5\pi}{6} $, наибольшим отрицательным корнем является $ -\frac{\pi}{4} $.

Наименьший положительный корень: Сравниваем $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{4} $. Поскольку $ \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} $, наименьшим положительным корнем является $ \frac{\pi}{6} $.

Нахождение суммы корней в градусах:

Сумма найденных корней в радианах:

$$ S = \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{6} = \frac{-3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} $$

Для перевода в градусы используем соотношение $ \pi = 180^\circ $:

$$ S = -\frac{180^\circ}{12} = -15^\circ $$

Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения: Ответ: -15°.