Номер 1, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения $\cos\left(2x - \frac{\pi}{18}\right) = 0$.

а) 40°;

б) 90°;

в) 100°;

г) 10°;

д) 50°.

Для решения уравнения $ \cos(2x - \frac{\pi}{18}) = 0 $ необходимо найти, при каких значениях аргумента косинус равен нулю.

Общее решение для уравнения вида $ \cos(y) = 0 $ имеет вид:

$ y = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ - любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

В данном уравнении аргумент косинуса $ y = 2x - \frac{\pi}{18} $. Подставим его в общее решение:

$ 2x - \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{2} + \pi n $

Теперь выразим $ x $. Для начала перенесем $ \frac{\pi}{18} $ в правую часть уравнения:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18} + \pi n $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$ 2x = \frac{9\pi}{18} + \frac{\pi}{18} + \pi n $

$ 2x = \frac{10\pi}{18} + \pi n $

Сократим дробь $ \frac{10\pi}{18} $ на 2:

$ 2x = \frac{5\pi}{9} + \pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 2:

$ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{\pi n}{2} $

Нам необходимо найти наименьший положительный корень. Для этого будем подставлять различные целые значения $ n $, пока не найдем наименьшее значение $ x > 0 $.

• При $ n = -1 $: $ x = \frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{18} - \frac{9\pi}{18} = -\frac{4\pi}{18} = -\frac{2\pi}{9} $. Это значение отрицательное, оно нам не подходит.
• При $ n = 0 $: $ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{5\pi}{18} $. Это значение положительное.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{18} + \frac{9\pi}{18} = \frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9} $. Это значение также положительное, но оно больше, чем $ \frac{5\pi}{18} $.

Следовательно, наименьший положительный корень в радианах равен $ x = \frac{5\pi}{18} $.

По условию задачи, ответ требуется дать в градусах. Для перевода радиан в градусы используем соотношение $ \pi \text{ рад} = 180^\circ $:

$ x = \frac{5 \cdot 180^\circ}{18} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{18} = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ $.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения равен 50°, что соответствует варианту д).

д) 50° Ответ: 50.