Номер 15, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Известно, что $\sqrt{13 - 13\sin^2 \frac{2\alpha}{3} + 12\sqrt{13}\cos^2 \frac{\alpha}{3}} = 0$. Найдите значение выражения $\left(2\text{tg}\frac{\alpha}{3}\right)^2$.

Исходное уравнение, представленное в задаче, имеет вид:$$ \sqrt{13 - 13\sin\frac{2\alpha}{3}} + 12\sqrt{13}\cos^2\frac{\alpha}{3} = 0 $$Это уравнение является суммой двух неотрицательных слагаемых. Первое слагаемое (квадратный корень) и второе слагаемое (содержащее квадрат косинуса) не могут быть отрицательными. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. Это приводит к системе уравнений:$$ \begin{cases} \sqrt{13 - 13\sin\frac{2\alpha}{3}} = 0 \\ 12\sqrt{13}\cos^2\frac{\alpha}{3} = 0 \end{cases} $$Из первого уравнения получаем $\sin\frac{2\alpha}{3} = 1$. Из второго уравнения получаем $\cos\frac{\alpha}{3} = 0$. Однако, если $\cos\frac{\alpha}{3} = 0$, то по формуле синуса двойного угла $\sin\frac{2\alpha}{3} = 2\sin\frac{\alpha}{3}\cos\frac{\alpha}{3} = 2\sin\frac{\alpha}{3} \cdot 0 = 0$. Возникает противоречие: $1 = 0$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений в действительных числах, и в условии задачи, скорее всего, содержится опечатка.

Наиболее вероятной опечаткой, которая приводит к корректному и однозначному решению, является аргумент у косинуса. Если предположить, что там должно быть $\frac{2\alpha}{3}$, задача решается.

Решение для исправленного условия $\sqrt{13 - 13\sin\frac{2\alpha}{3}} + 12\sqrt{13}\cos^2\frac{2\alpha}{3} = 0$:

В этом случае система уравнений принимает вид:$$ \begin{cases} \sqrt{13 - 13\sin\frac{2\alpha}{3}} = 0 \\ 12\sqrt{13}\cos^2\frac{2\alpha}{3} = 0 \end{cases} $$Из этой системы получаем:$$ \begin{cases} \sin\frac{2\alpha}{3} = 1 \\ \cos\frac{2\alpha}{3} = 0 \end{cases} $$Эти условия совместимы и соответствуют основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (так как $1^2 + 0^2 = 1$).

Условия $\sin\frac{2\alpha}{3} = 1$ и $\cos\frac{2\alpha}{3} = 0$ выполняются, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.$$ \frac{2\alpha}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $$Чтобы найти $\frac{\alpha}{3}$, разделим обе части равенства на 2:$$ \frac{\alpha}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k $$Теперь мы можем найти значение искомого выражения $(2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{3})^2$. Сначала вычислим $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{3}$:$$ \operatorname{tg}\frac{\alpha}{3} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) $$Так как период тангенса равен $\pi$, то:$$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$Подставляем найденное значение в выражение:$$ \left(2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{3}\right)^2 = (2 \cdot 1)^2 = 2^2 = 4 $$

Найдите значение выражения $(2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{3})^2$:Ответ: 4