Номер 4, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\frac{\sin 3x}{1-2\cos x} = 0.$

а) $\frac{\pi}{3};$

б) $\pi;$

В) $\frac{5\pi}{3};$

Г) $\frac{\pi}{6};$

Д) $\frac{2\pi}{3}.$

Для того чтобы найти корни уравнения $\frac{\sin(3x)}{1 - 2\cos(x)} = 0$, необходимо решить систему условий, при которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} \sin(3x) = 0 \\ 1 - 2\cos(x) \neq 0 \end{cases} $$

Шаг 1: Найдём корни числителя.

Решим уравнение $\sin(3x) = 0$.

Решения этого уравнения имеют вид $3x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Отсюда получаем серию потенциальных корней: $x = \frac{k\pi}{3}$.

Шаг 2: Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатель $1 - 2\cos(x)$ не должен равняться нулю.

$1 - 2\cos(x) \neq 0 \implies 2\cos(x) \neq 1 \implies \cos(x) \neq \frac{1}{2}$.

Значения $x$, которые нужно исключить, это $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Выберем наименьший положительный корень.

Мы ищем наименьший положительный корень. Для этого будем перебирать натуральные числа $k=1, 2, 3, \ldots$ в формуле $x = \frac{k\pi}{3}$ и проверять полученные значения на соответствие ОДЗ.

• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3}$.
  Проверяем: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ, так как при нем знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ не является корнем.
• При $k = 2$: $x = \frac{2\pi}{3}$.
  Проверяем: $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$. Числитель при этом значении равен $\sin(3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \sin(2\pi) = 0$.
  Следовательно, $x = \frac{2\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Так как мы перебирали значения $k$ по возрастанию, начиная с наименьшего натурального числа, то $x = \frac{2\pi}{3}$ — это и есть наименьший положительный корень уравнения.

д) $\frac{2\pi}{3}$. Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.