Номер 9, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения

$tg^2 x + ctg^2 x + 3tgx + 3ctgx + 4 = 0.$

а) 150°;

б) 120°;

в) 60°;

г) 45°;

д) 135°.

Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо сгруппировать его члены и ввести замену переменной.

Исходное уравнение:

$$ \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x + 3\text{tg}x + 3\text{ctg}x + 4 = 0 $$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$$ (\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x) + 3(\text{tg}x + \text{ctg}x) + 4 = 0 $$

Введем замену: пусть $ y = \text{tg}x + \text{ctg}x $.

Теперь выразим сумму квадратов $ \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x $ через $y$. Для этого возведем $y$ в квадрат:

$$ y^2 = (\text{tg}x + \text{ctg}x)^2 = \text{tg}^2 x + 2 \cdot \text{tg}x \cdot \text{ctg}x + \text{ctg}^2 x $$

Используя тождество $ \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1 $, получаем:

$$ y^2 = \text{tg}^2 x + 2 + \text{ctg}^2 x $$

Отсюда следует, что:

$$ \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = y^2 - 2 $$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$$ (y^2 - 2) + 3y + 4 = 0 $$

После упрощения получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$$ y^2 + 3y + 2 = 0 $$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корнями являются:

$$ y_1 = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = -2 $$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1. Случай, когда $ y = -1 $:

$$ \text{tg}x + \text{ctg}x = -1 $$

$$ \text{tg}x + \frac{1}{\text{tg}x} = -1 $$

Умножим обе части на $ \text{tg}x $ (при условии, что $ \text{tg}x \neq 0 $, что следует из области определения котангенса):

$$ \text{tg}^2 x + 1 = -\text{tg}x $$

$$ \text{tg}^2 x + \text{tg}x + 1 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $ \text{tg}x $. Найдем его дискриминант $ D $:

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $$

Так как $ D < 0 $, уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае решений для $x$ нет.

2. Случай, когда $ y = -2 $:

$$ \text{tg}x + \text{ctg}x = -2 $$

$$ \text{tg}x + \frac{1}{\text{tg}x} = -2 $$

Умножим обе части на $ \text{tg}x $:

$$ \text{tg}^2 x + 1 = -2\text{tg}x $$

$$ \text{tg}^2 x + 2\text{tg}x + 1 = 0 $$

Это выражение является формулой полного квадрата:

$$ (\text{tg}x + 1)^2 = 0 $$

Отсюда:

$$ \text{tg}x + 1 = 0 \implies \text{tg}x = -1 $$

Общее решение для этого тригонометрического уравнения:

$$ x = \text{arctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $$

По условию задачи, нужно найти наименьший положительный корень в градусах. Переведем решение в градусы, зная, что $ \pi = 180^\circ $:

$$ x = -45^\circ + 180^\circ \cdot n $$

Найдем наименьшее целое $n$, при котором $x$ будет положительным:

• При $n=0$: $ x = -45^\circ $ (отрицательный корень)
• При $n=1$: $ x = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ $ (наименьший положительный корень)
• При $n=2$: $ x = -45^\circ + 360^\circ = 315^\circ $ (положительный, но не наименьший)

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения равен $135^\circ$.

д) 135°: Ответ: 135