Номер 12, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения

$ (3\cos x + \cos 2x + 2)\sqrt{\operatorname{ctg}x} = 0 $ на промежутке $ [0; 2\pi] $.

Исходное уравнение: $(3\cos x + \cos 2x + 2)\sqrt{\text{ctg}\,x} = 0$.

Это уравнение эквивалентно системе, в которой произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (входит в область допустимых значений).

1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\text{ctg}\,x \ge 0$

Котангенс $\text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определен, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq k\pi$ для любого целого $k$.

На заданном промежутке $[0; 2\pi]$ условие $\text{ctg}\,x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатной четверти (включая границы, где $\text{ctg}\,x = 0$).

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$ есть объединение: $x \in (0, \frac{\pi}{2}] \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

2. Решение уравнения

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю.

Случай А: $\sqrt{\text{ctg}\,x} = 0$

Возводим обе части в квадрат:

$\text{ctg}\,x = 0$

На промежутке $[0; 2\pi]$ решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

Оба этих значения принадлежат ОДЗ. Следовательно, $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$ являются корнями исходного уравнения.

Случай Б: $3\cos x + \cos 2x + 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$3\cos x + (2\cos^2 x - 1) + 2 = 0$

$2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Находим корни с помощью дискриминанта $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$:

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = -1$. На промежутке $[0; 2\pi]$ решение $x = \pi$. Проверяем по ОДЗ: $\text{ctg}\,\pi$ не определен, так как $\sin \pi = 0$. Следовательно, $x = \pi$ не является корнем исходного уравнения.
2. $\cos x = -\frac{1}{2}$. На промежутке $[0; 2\pi]$ решениями являются $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. Проверим эти значения по ОДЗ ($\text{ctg}\,x \ge 0$):
   • Для $x = \frac{2\pi}{3}$ (II четверть) значение $\text{ctg}(\frac{2\pi}{3}) < 0$. Корень не удовлетворяет ОДЗ.
   • Для $x = \frac{4\pi}{3}$ (III четверть) значение $\text{ctg}(\frac{4\pi}{3}) > 0$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
   Таким образом, $x_3 = \frac{4\pi}{3}$ является третьим корнем уравнения.

3. Вычисление суммы корней

Мы нашли три корня уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Сумма корней в радианах равна:

$S = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi + 4\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$

Согласно условию задачи, сумму нужно найти в градусах. Переведем радианы в градусы, используя соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$:

$S_{градусы} = \frac{10\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{3} = 10 \cdot 60^\circ = 600^\circ$

Ответ: 600.