Номер 8, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите количество корней уравнения $\cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 5.

Для решения уравнения $ \cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = 0 $ на промежутке $ [0; 2\pi] $ преобразуем его, используя тригонометрические формулы.

1. Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ \cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin x \cos x) = 0 $

$ \cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 $

2. Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\cos x + \sqrt{3} \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

a) $ \cos x = 0 $
б) $ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 $

3. Решим каждое уравнение и найдем корни на заданном промежутке $ [0; 2\pi] $.

a) $ \cos x = 0 $

Общее решение: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число.

Выберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $:

• При $ k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{2} $
• При $ k=1 \implies x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} $

На данном промежутке получаем 2 корня.

б) $ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 $

Заметим, что $ \cos x \neq 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ 1 + \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $

$ 1 + \sqrt{3} \tan x = 0 $

$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Общее решение: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n $ - целое число.

Выберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $:

• При $ n=1 \implies x_3 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} $
• При $ n=2 \implies x_4 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} $

На данном промежутке получаем еще 2 корня.

Всего мы нашли четыре различных корня на промежутке $ [0; 2\pi] $: $ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} $.

Ответ: г) 4