Номер 13, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите количество корней уравнения $ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{1}{8} $ на промежутке $ [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] $.

Для решения уравнения $\cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{1}{8}$ преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Сначала проверим, может ли $\sin x$ быть равен нулю. Если $\sin x = 0$, то $x = k\pi$ для целого $k$. В этом случае $\cos x = (-1)^k$, $\cos 2x = 1$, $\cos 4x = 1$. Уравнение принимает вид $(-1)^k \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{8}$, что невозможно. Следовательно, $\sin x \neq 0$, и мы имеем право умножить обе части уравнения на $8\sin x$.

$8\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = 8 \cdot \frac{1}{8} \sin x$

Применяя формулу синуса двойного угла несколько раз, получаем:

$4 \cdot (2\sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$4\sin 2x \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$2 \cdot (2\sin 2x \cos 2x) \cos 4x = \sin x$

$2\sin 4x \cos 4x = \sin x$

$\sin 8x = \sin x$

Полученное уравнение равносильно исходному при условии $\sin x \neq 0$. Преобразуем его, используя формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$\sin 8x - \sin x = 0$

$2\sin\frac{7x}{2}\cos\frac{9x}{2} = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это дает нам две серии решений.

Первая серия решений:

$\sin\frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = k\pi \implies x = \frac{2k\pi}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$:

$\frac{\pi}{2} \le \frac{2k\pi}{7} \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{1}{2} \le \frac{2k}{7} \le \frac{3}{2} \implies 3.5 \le 2k \le 10.5 \implies 1.75 \le k \le 5.25$

Подходящие целые значения для $k$: $2, 3, 4, 5$. Это дает 4 корня. Ни один из них не обращает $\sin x$ в ноль, так как для этого $k$ должно быть кратно 7.

Вторая серия решений:

$\cos\frac{9x}{2} = 0 \implies \frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$:

$\frac{\pi}{2} \le \frac{(2n+1)\pi}{9} \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{1}{2} \le \frac{2n+1}{9} \le \frac{3}{2} \implies 4.5 \le 2n+1 \le 13.5 \implies 1.75 \le n \le 6.25$

Подходящие целые значения для $n$: $2, 3, 4, 5, 6$.

Необходимо исключить корни, для которых $\sin x = 0$. Это происходит при $x=m\pi$. Проверим, есть ли такие среди найденных:

$\frac{(2n+1)\pi}{9} = m\pi \implies 2n+1 = 9m$.

При $n=4$ получаем $2(4)+1=9$, что соответствует $m=1$. Значит, корень $x=\pi$ является посторонним, так как при его получении мы умножали на $\sin(\pi)=0$. Исключаем $n=4$.

Остаются значения $n=2, 3, 5, 6$. Это дает еще 4 корня.

Общее количество корней:

Корни из двух серий не совпадают, так как уравнение $\frac{2k\pi}{7} = \frac{(2n+1)\pi}{9}$ или $18k = 7(2n+1)$ не имеет целых решений (левая часть четная, правая нечетная).

Следовательно, общее количество корней на заданном промежутке равно сумме корней из двух непересекающихся серий: $4 + 4 = 8$.

Количество корней Ответ: 8