Номер 13, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Упростите выражение $\left(\frac{\cos\alpha - \cos2\alpha - \cos4\alpha + \cos5\alpha}{\sin\alpha - \sin2\alpha - \sin4\alpha + \sin5\alpha}\right)^4$ и найдите его значение при $\alpha = \frac{\pi}{18}$.

Для решения задачи мы последовательно выполним два шага: сначала упростим данное выражение, а затем вычислим его значение при заданном значении угла $ \alpha $.

Упростите выражение

Рассмотрим выражение: $$ \left( \frac{\cos\alpha - \cos2\alpha - \cos4\alpha + \cos5\alpha}{\sin\alpha - \sin2\alpha - \sin4\alpha + \sin5\alpha} \right)^4 $$ Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби для применения формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Числитель: $ (\cos5\alpha + \cos\alpha) - (\cos4\alpha + \cos2\alpha) $

Знаменатель: $ (\sin5\alpha + \sin\alpha) - (\sin4\alpha + \sin2\alpha) $

Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов:

$$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$

$$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$

Преобразуем числитель:

$$ \cos5\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) $$

$$ \cos4\alpha + \cos2\alpha = 2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha) $$

Таким образом, выражение в числителе равно:

$$ 2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) - 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha)) $$

Аналогично преобразуем знаменатель:

$$ \sin5\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) $$

$$ \sin4\alpha + \sin2\alpha = 2\sin\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha) $$

Таким образом, выражение в знаменателе равно:

$$ 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) - 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha) = 2\sin(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha)) $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{2\cos(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha))}{2\sin(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha))} = \frac{\cos(3\alpha)}{\sin(3\alpha)} = \cot(3\alpha) $$

Сокращение возможно при условии, что $ \sin(3\alpha) \neq 0 $ и $ \cos(2\alpha) - \cos(\alpha) \neq 0 $.

Возведем результат в четвертую степень:

$$ (\cot(3\alpha))^4 = \cot^4(3\alpha) $$

Упростите выражение Ответ: $ \cot^4(3\alpha) $.

Найдите его значение при $\alpha = \frac{\pi}{18}$

Теперь подставим значение $ \alpha = \frac{\pi}{18} $ в упрощенное выражение $ \cot^4(3\alpha) $.

Сначала найдем значение аргумента $ 3\alpha $:

$$ 3\alpha = 3 \cdot \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{6} $$

Далее, вычислим значение $ \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) $:

$$ \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Наконец, возведем полученное значение в четвертую степень:

$$ \cot^4\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\sqrt{3}\right)^4 = ((\sqrt{3})^2)^2 = 3^2 = 9 $$

Проверим, выполняются ли условия, при которых мы производили сокращение, для $ \alpha = \frac{\pi}{18} $. $ \sin(3\alpha) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \neq 0 $. $ \cos(2\alpha) - \cos(\alpha) = \cos(\frac{2\pi}{18}) - \cos(\frac{\pi}{18}) = \cos(\frac{\pi}{9}) - \cos(\frac{\pi}{18}) \neq 0 $, так как на интервале $ (0, \pi) $ функция косинуса убывает, а $ \frac{\pi}{9} \neq \frac{\pi}{18} $. Все преобразования были корректны.

Найдите его значение Ответ: 9