Номер 9, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите значение выражения

$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos200^\circ}}$

a) $-\cos50^\circ$;

б) $\sin50^\circ$;

в) $\cos50^\circ$;

г) $-\sin50^\circ$;

д) $\operatorname{tg}50^\circ$.

Для решения данной задачи мы будем последовательно упрощать выражение, используя формулу понижения степени для косинуса:

$$ \cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $$

Преобразование начнем с внутреннего подкоренного выражения.

Шаг 1: Упрощение внутреннего корня

Рассмотрим выражение под самым внутренним корнем:

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(200^\circ) $$

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$$ \frac{1}{2}(1 + \cos(200^\circ)) $$

Применим формулу понижения степени. В данном случае $ 2\alpha = 200^\circ $, следовательно, $ \alpha = 100^\circ $.

$$ \frac{1 + \cos(200^\circ)}{2} = \cos^2(100^\circ) $$

Теперь мы можем извлечь корень:

$$ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(200^\circ)} = \sqrt{\cos^2(100^\circ)} = |\cos(100^\circ)| $$

Угол $ 100^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 100^\circ < 180^\circ $), где значение косинуса отрицательно. По определению модуля, $ |\cos(100^\circ)| = -\cos(100^\circ) $.

Шаг 2: Упрощение внешнего корня

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$$ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot (-\cos(100^\circ))} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(100^\circ)} $$

Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу понижения степени. Вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$$ \sqrt{\frac{1}{2}(1 + \cos(100^\circ))} $$

На этот раз $ 2\alpha = 100^\circ $, значит $ \alpha = 50^\circ $. Применяем формулу:

$$ \sqrt{\frac{1 + \cos(100^\circ)}{2}} = \sqrt{\cos^2(50^\circ)} $$

Шаг 3: Окончательное вычисление

Извлекаем последний корень:

$$ \sqrt{\cos^2(50^\circ)} = |\cos(50^\circ)| $$

Угол $ 50^\circ $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < 50^\circ < 90^\circ $), где косинус положителен. Следовательно:

$$ |\cos(50^\circ)| = \cos(50^\circ) $$

Таким образом, значение исходного выражения равно $ \cos(50^\circ) $, что соответствует варианту в).

в) $\cos50^\circ$; Ответ: $\cos50^\circ$