Номер 3, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Вычислите: $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2$.

а) $\frac{\sqrt{2}}{4}$;

б) $0$;

в) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $-1$;

д) $2$.

Для вычисления значения данного выражения необходимо последовательно его упростить. В первую очередь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$ \left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} $

Далее, сгруппируем слагаемые и воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

• Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{8} $, поэтому $ \cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} = 1 $.
• Формула синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. В нашем случае $ 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{\pi}{4} $.

Применив эти тождества, получим:

$ (\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = 1 + \sin\frac{\pi}{4} $

Значение $ \sin\frac{\pi}{4} $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, значение выражения в скобках равно:

$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

Раскроем скобки и выполним вычитание:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 $

Итоговый результат равен -1, что соответствует варианту ответа г).

Ответ: г) -1