Номер 14, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите сумму целых решений неравенства $ \frac{x^2 + 4x - 21}{|x^2 - 4|} \le 0 $.

Для решения неравенства $\frac{x^2 + 4x - 21}{|x^2 - 4|} \le 0$ необходимо рассмотреть его числитель и знаменатель.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Выражение $|x^2 - 4|$ равно нулю, если $x^2 - 4 = 0$.

$x^2 - 4 \neq 0$

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Следовательно, из решения необходимо исключить точки $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. Решение неравенства

В области допустимых значений знаменатель $|x^2 - 4|$ всегда положителен (строго больше нуля). Поэтому знак всей дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x - 21 \le 0 \\ x \neq 2 \\ x \neq -2\end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2 + 4x - 21 \le 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-21$. Корнями являются $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(x+7)(x-3) \le 0$.

Так как парабола $y = x^2 + 4x - 21$ направлена ветвями вверх, ее значения будут не положительны на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства $x^2 + 4x - 21 \le 0$ является отрезок $x \in [-7, 3]$.

3. Объединение результатов

Совместим полученный отрезок $x \in [-7, 3]$ с ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$). Точки $-2$ и $2$ лежат внутри этого отрезка, поэтому их нужно исключить.

Итоговое множество решений неравенства: $x \in [-7, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, 3]$.

4. Нахождение суммы целых решений

Найдем все целые числа, которые входят в полученное множество решений:

На промежутке $[-7, -2)$ это: $-7, -6, -5, -4, -3$.

На промежутке $(-2, 2)$ это: $-1, 0, 1$.

На промежутке $(2, 3]$ это: $3$.

Таким образом, множество целых решений: $\{-7, -6, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 3\}$.

Вычислим их сумму:

$S = (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-1) + 0 + 1 + 3$

Слагаемые $-1$ и $1$, а также $-3$ и $3$ взаимно уничтожаются:

$S = (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + ((-3)+3) + ((-1)+1) + 0 = -7 - 6 - 5 - 4 = -22$.

Сумма целых решений неравенства: Ответ: -22.