Номер 13, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите наименьшее целое решение неравенства $(|x|-1)(2x^2+x-1) \le 0.$

Для решения неравенства $(|x| - 1)(2x^2 + x - 1) \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Для этого сначала найдем корни каждого множителя, чтобы определить точки, в которых левая часть неравенства обращается в ноль или меняет знак.

1. Найдем корни первого множителя

Приравняем первый множитель к нулю:

$|x| - 1 = 0$

$|x| = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Найдем корни второго множителя

Приравняем второй множитель к нулю:

$2x^2 + x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения равны:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Корни второго множителя: $x_3 = \frac{1}{2}$ и $x_4 = -1$.

3. Определим интервалы и знаки выражения

Все найденные корни ($ -1, \frac{1}{2}, 1$) разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак выражения $f(x) = (|x| - 1)(2x^2 + x - 1)$ на каждом из этих интервалов.

• Интервал $(-\infty, -1)$: Возьмем пробную точку $x = -2$.
  $f(-2) = (|-2| - 1)(2(-2)^2 + (-2) - 1) = (2 - 1)(8 - 2 - 1) = 1 \cdot 5 = 5$. Знак "+".
• Интервал $(-1, \frac{1}{2})$: Возьмем пробную точку $x = 0$.
  $f(0) = (|0| - 1)(2(0)^2 + 0 - 1) = (-1)(-1) = 1$. Знак "+".
• Интервал $(\frac{1}{2}, 1)$: Возьмем пробную точку $x = 0.55 = \frac{11}{20}$.
  $f(0.55) = (|0.55| - 1)(2(0.55)^2 + 0.55 - 1) = (0.55 - 1)(2 \cdot 0.3025 + 0.55 - 1) = (-0.45)(0.605 + 0.55 - 1) = (-0.45)(0.155)$. Знак "-".
• Интервал $(1, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x = 2$.
  $f(2) = (|2| - 1)(2(2)^2 + 2 - 1) = (2 - 1)(8 + 2 - 1) = 1 \cdot 9 = 9$. Знак "+".

4. Найдем решение неравенства

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($f(x) \le 0$).

Из анализа интервалов следует, что выражение отрицательно на интервале $(\frac{1}{2}, 1)$.

Так как неравенство нестрогое, мы также должны включить в решение корни, в которых выражение равно нулю. Это точки $x = -1, x = \frac{1}{2}, x = 1$.

Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений: $x \in \{-1\} \cup [\frac{1}{2}, 1]$.

5. Найдем наименьшее целое решение

Из множества решений $\{-1\} \cup [\frac{1}{2}, 1]$ выберем все целые числа:

• $x = -1$
• Целые числа на отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$: это $x = 1$.

Получаем два целых решения: $-1$ и $1$. Наименьшее из них равно $-1$.

Ответ: -1.