Номер 10, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $6 \cdot S$, где $S$ — сумма корней уравнения $|x + 3| + |2x - 1| = 8$.

Для нахождения значения выражения необходимо последовательно выполнить три шага.

Для решения уравнения с модулями используем метод интервалов. Находим нули подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = \frac{1}{2}$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала.

а) При $x < -3$ оба модуля раскрываются с отрицательным знаком:

$-(x + 3) - (2x - 1) = 8$

$-3x - 2 = 8 \implies -3x = 10 \implies x_1 = -\frac{10}{3}$

Так как $-\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} < -3$, этот корень подходит.

б) При $-3 \le x < \frac{1}{2}$ первый модуль раскрывается с плюсом, второй — с минусом:

$(x + 3) - (2x - 1) = 8$

$-x + 4 = 8 \implies -x = 4 \implies x = -4$

Так как $-4$ не принадлежит интервалу $[-3; \frac{1}{2})$, это значение не является корнем.

в) При $x \ge \frac{1}{2}$ оба модуля раскрываются с положительным знаком:

$(x + 3) + (2x - 1) = 8$

$3x + 2 = 8 \implies 3x = 6 \implies x_2 = 2$

Так как $2 \ge \frac{1}{2}$, этот корень подходит.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = -\frac{10}{3}$ и $x_2 = 2$.

Сумма $S$ найденных корней равна:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{10}{3} + 2 = -\frac{10}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}$

Ответ: $S = -1\frac{1}{3}$.

Подставляем найденное значение $S$ в искомое выражение:

$6 \cdot S = 6 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{6 \cdot 4}{3} = -2 \cdot 4 = -8$

Ответ: -8.