Номер 4, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $x^2 + 2x = 8 \frac{|x+4|}{4+x}$.

а) -8;

б) 2;

в) -64;

г) 8;

д) 4.

Для решения уравнения $x^2 + 2x = 8 \frac{|x+4|}{4+x}$ найдем сначала его область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю:

$4 + x \neq 0 \implies x \neq -4$

Теперь рассмотрим уравнение, раскрыв модуль $|x+4|$. Это требует рассмотрения двух случаев.

1. Случай, когда $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.

При этом условии, $|x+4| = x+4$. Тогда выражение в правой части уравнения упрощается:

$8 \frac{|x+4|}{4+x} = 8 \frac{x+4}{4+x} = 8 \cdot 1 = 8$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$x^2 + 2x = 8$

Перенесем 8 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -8$

Этим условиям удовлетворяют корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни условию данного случая ($x > -4$):

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 > -4$. Следовательно, $x=2$ является решением исходного уравнения.
• Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x > -4$, а также не входит в ОДЗ. Следовательно, он не является решением.

2. Случай, когда $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.

При этом условии, $|x+4| = -(x+4)$. Тогда правая часть уравнения принимает вид:

$8 \frac{|x+4|}{4+x} = 8 \frac{-(x+4)}{4+x} = 8 \cdot (-1) = -8$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$x^2 + 2x = -8$

$x^2 + 2x + 8 = 0$

Найдем дискриминант ($D$) этого квадратного уравнения, чтобы проверить наличие действительных корней:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$

Так как дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Заключение

Проанализировав оба случая, мы приходим к выводу, что исходное уравнение имеет только один действительный корень: $x = 2$.

В задании требуется найти произведение корней (или сам корень, если он единственный). Так как корень один, он и является ответом.

Ответ: б) 2