Номер 7, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите среднее арифметическое корней уравнения $x^2 - 4|x+1| + 5x + 4 = 0$.

а) $-1,5$;

б) $-4,5$;

в) $-0,5$;

г) $-2,5$;

д) $-3$.

Для решения данного уравнения, содержащего модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Исходное уравнение: $x^2 - 4|x + 1| + 5x + 4 = 0$

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно

Пусть $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. В этом случае, по определению модуля, $|x + 1| = x + 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4(x + 1) + 5x + 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 4 + 5x + 4 = 0$

$x^2 + x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = -1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge -1$, при котором мы решали уравнение:

• Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -1$ (верно).
• Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -1$ (верно).

Следовательно, в первом случае мы нашли два действительных корня уравнения: 0 и -1.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно

Пусть $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$. В этом случае, по определению модуля, $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4(-(x + 1)) + 5x + 4 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 4(x + 1) + 5x + 4 = 0$

$x^2 + 4x + 4 + 5x + 4 = 0$

$x^2 + 9x + 8 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком ($-9$), а их произведение равно свободному члену ($8$). Легко подобрать корни:

$x_3 = -1$

$x_4 = -8$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $x < -1$:

• Значение $x_3 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < -1$ (неверно), поэтому это не корень в данном случае.
• Корень $x_4 = -8$ удовлетворяет условию $-8 < -1$ (верно).

Таким образом, во втором случае мы нашли еще один действительный корень: -8.

Нахождение среднего арифметического корней

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы имеем три различных корня исходного уравнения: $0, -1, -8$.

Среднее арифметическое корней — это их сумма, деленная на их количество.

Сумма корней: $0 + (-1) + (-8) = -9$.

Количество корней: 3.

Среднее арифметическое: $\frac{-9}{3} = -3$.

Полученный результат соответствует варианту ответа д).

Ответ: д) -3