Номер 3, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Найдите среднее арифметическое корней уравнения $\Vert \vert 3x + 1 \vert + x + 1 \Vert = 2$.

а) -1;

б) -0,5;

в) 0,25;

г) 0;

д) 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое корней уравнения $||3x + 1| + x + 1| = 2$, необходимо сначала найти все его корни, а затем вычислить их среднее значение.

Уравнение с внешним модулем вида $|A| = k$ (где $k \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = k$ или $A = -k$. В нашем случае $A = |3x + 1| + x + 1$ и $k = 2$.

Изолируем выражение с модулем в левой части уравнения:

$$ |3x + 1| = 2 - 1 - x $$

$$ |3x + 1| = 1 - x $$

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ может иметь решение только при условии, что его правая часть неотрицательна, то есть $1 - x \ge 0$, откуда $x \le 1$.

Теперь раскроем внутренний модуль, рассмотрев два подинтервала с учетом условия $x \le 1$:

• Если $3x + 1 \ge 0$ (т.е. $x \ge -1/3$), то уравнение принимает вид:
  $3x + 1 = 1 - x$
  $4x = 0$
  $x_1 = 0$.
  Этот корень удовлетворяет условиям ($x \ge -1/3$ и $x \le 1$), поэтому он является решением.
• Если $3x + 1 < 0$ (т.е. $x < -1/3$), то уравнение принимает вид:
  $-(3x + 1) = 1 - x$
  $-3x - 1 = 1 - x$
  $-2 = 2x$
  $x_2 = -1$.
  Этот корень удовлетворяет условиям ($x < -1/3$ и $x \le 1$), поэтому он также является решением.

Ответ: В этом случае найдено два корня: 0 и -1.

Изолируем модуль:

$$ |3x + 1| = -2 - 1 - x $$

$$ |3x + 1| = -x - 3 $$

Это уравнение может иметь решение только при условии $-x - 3 \ge 0$, откуда $-x \ge 3$, то есть $x \le -3$.

При $x \le -3$ выражение под модулем $3x + 1$ всегда будет отрицательным. Следовательно, раскрываем модуль со знаком "минус":

$-(3x + 1) = -x - 3$

$-3x - 1 = -x - 3$

$2 = 2x$

$x = 1$

Полученный результат $x=1$ не удовлетворяет условию $x \le -3$, поэтому в данном случае решений нет.

Ответ: В этом случае корней нет.

Итак, исходное уравнение имеет всего два корня: $x_1=0$ и $x_2=-1$.

Среднее арифметическое — это сумма корней, деленная на их количество:

$$ \frac{0 + (-1)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 $$

Полученная дробь $-1/2$ является правильной, поэтому выделять целую часть из нее не нужно.

Ответ: -0,5.