Номер 15, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Найдите произведение корней уравнения $\frac{x^2+x-7}{x^2+5} = \frac{x-5}{2x^2+3}$.

Найдите произведение корней уравнения $\frac{x^2 + x - 7}{x^2 + 5} = \frac{x - 5}{2x^2 + 3}$

Для решения данного уравнения необходимо выполнить несколько шагов. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей $x^2 + 5$ и $2x^2 + 3$ не должны быть равны нулю. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2+5 \ge 5$ и $2x^2+3 \ge 3$. Таким образом, знаменатели никогда не обращаются в ноль, и ОДЗ — это все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Это означает, что все найденные корни полиномиального уравнения будут являться корнями исходного уравнения.

Далее, преобразуем уравнение, используя правило перекрестного умножения (основное свойство пропорции):

$(x^2 + x - 7)(2x^2 + 3) = (x - 5)(x^2 + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$2x^4 + 3x^2 + 2x^3 + 3x - 14x^2 - 21 = x^3 + 5x - 5x^2 - 25$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 3x - 21 = x^3 - 5x^2 + 5x - 25$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$:

$2x^4 + (2x^3 - x^3) + (-11x^2 + 5x^2) + (3x - 5x) + (-21 + 25) = 0$

$2x^4 + x^3 - 6x^2 - 2x + 4 = 0$

Теперь, когда у нас есть полиномиальное уравнение четвертой степени, мы можем найти произведение его корней, не находя сами корни. Для этого воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$, произведение корней ($x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4$) равно $\frac{e}{a}$.

В нашем уравнении старший коэффициент $a = 2$, а свободный член $e = 4$.

Произведение корней равно $\frac{e}{a} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2.