Номер 85, страница 26 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

85. Найдите сумму, используя законы сложения:

а) $0,1 + 0,2 + 0,3 + \dots + 0,9;$

б) $0,01 + 0,02 + 0,03 + \dots + 0,98 + 0,99;$

в) $0,02 + 0,05 + 0,08 + \dots + 0,99 + 1,02.$

а) 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 0,9;

Для нахождения суммы воспользуемся законами сложения, которые позволяют нам менять слагаемые местами (переместительный закон) и группировать их (сочетательный закон). Сгруппируем первое и последнее слагаемые, второе и предпоследнее, и так далее. Это также называется методом Гаусса.

Сумма $S$ равна:$S = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9$

Сгруппируем слагаемые в пары:

$S = (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5$

Сумма каждой пары в скобках равна 1. Всего таких пар 4. Слагаемое 0,5 остается без пары.

$S = 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5$

Представим результат в виде смешанного числа: $4,5 = 4 \frac{5}{10} = 4 \frac{1}{2}$.

Ответ: 4$ \frac{1}{2} $

б) 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,98 + 0,99;

Данная сумма является арифметической прогрессией. Здесь 99 слагаемых. Мы можем использовать тот же метод группировки, что и в предыдущем пункте. Первый член прогрессии $a_1 = 0,01$, последний $a_{99} = 0,99$.

Сгруппируем слагаемые в пары:

$S = (0,01 + 0,99) + (0,02 + 0,98) + \dots$

Сумма каждой такой пары равна 1. Поскольку всего 99 слагаемых, мы можем образовать $ \frac{99-1}{2} = 49 $ пар. В центре последовательности останется одно число без пары. Этим числом будет 50-й член прогрессии, который равен 0,50.

Следовательно, общая сумма равна:

$S = 49 \cdot 1 + 0,50 = 49,5$

Также можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{99} = \frac{0,01 + 0,99}{2} \cdot 99 = \frac{1}{2} \cdot 99 = 49,5$

Представим результат в виде смешанного числа: $49,5 = 49 \frac{1}{2}$.

Ответ: 49$ \frac{1}{2} $

в) 0,02 + 0,05 + 0,08 + ... + 0,99 + 1,02.

Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 0,02$. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = 0,05 - 0,02 = 0,03$

Проверим, являются ли все указанные члены частью одной прогрессии. Разность между последними двумя членами $1,02 - 0,99 = 0,03$, что совпадает с разностью $d$. Однако, если мы попробуем найти общее количество членов $n$ в прогрессии от $a_1=0,02$ до $a_n=1,02$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$, то получим:

$1,02 = 0,02 + (n-1) \cdot 0,03 \implies 1,00 = (n-1) \cdot 0,03 \implies n-1 = \frac{1}{0,03} = \frac{100}{3}$

Так как $n-1$ не является целым числом, это означает, что в условии задачи, скорее всего, содержится опечатка, и числа $0,02$ и $1,02$ не могут быть первым и последним членами данной прогрессии одновременно.

Наиболее вероятная опечатка — в последнем члене. Если бы он был равен $1,01$, то задача имела бы решение. Предположим, что последний член равен $1,01$, и решим исправленную задачу: $0,02 + 0,05 + \dots + 1,01$.

Найдем количество членов $n$ для исправленной прогрессии:

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{1,01 - 0,02}{0,03} + 1 = \frac{0,99}{0,03} + 1 = 33 + 1 = 34$

Теперь найдем сумму, используя формулу:

$S_{34} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{0,02 + 1,01}{2} \cdot 34 = \frac{1,03}{2} \cdot 34 = 1,03 \cdot 17 = 17,51$

Представим результат в виде смешанного числа: $17,51 = 17 \frac{51}{100}$.

Ответ: 17$ \frac{51}{100} $