Номер 2.99, страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.99. Рассмотрите пары чисел: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32.

а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?

б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.

2.99

а) 9 = 3 • 3

13 = 13

НОД (9; 13) = 1 – являются взаимно простыми

15 = 3 • 5

19 = 19

НОД (15; 19) = 1 – являются взаимно простыми

24 = 2 • 2 • 2 • 3

35 = 5 • 7

НОД (24; 35) = 1 – являются взаимно простыми

27 = 3 • 3 • 3

32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2

НОД (27; 32) = 1 – являются взаимно простыми

б) НОК (9; 13) = 3 • 3 • 13 = 117 = 9 • 13

НОК (15; 19) = 3 • 5 • 19 = 285 = 15 • 19

НОК (24; 35) = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 840 = 24 • 35

НОК (27; 32) = 3 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 864 = 27 • 32

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

а)Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, являются ли числа в каждой паре взаимно простыми, найдем их НОД, разложив числа на простые множители.

Пара 9 и 13:
Разложение на множители: $9 = 3^2$; 13 — простое число.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(9; 13) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 15 и 19:
Разложение на множители: $15 = 3 \cdot 5$; 19 — простое число.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(15; 19) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 24 и 35:
Разложение на множители: $24 = 2^3 \cdot 3$; $35 = 5 \cdot 7$.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(24; 35) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 27 и 32:
Разложение на множители: $27 = 3^3$; $32 = 2^5$.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(27; 32) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Ответ: Да, числа в каждой из представленных пар являются взаимно простыми.

б)Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел $a$ и $b$ связано с их наибольшим общим делителем (НОД) формулой: $НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$.
Поскольку для всех заданных пар чисел $НОД(a, b) = 1$, то для них формула для нахождения НОК упрощается: $НОК(a, b) = a \cdot b$.
Найдем НОК для каждой пары:

Для пары 9 и 13:
$НОК(9; 13) = 9 \cdot 13 = 117$.

Для пары 15 и 19:
$НОК(15; 19) = 15 \cdot 19 = 285$.

Для пары 24 и 35:
$НОК(24; 35) = 24 \cdot 35 = 840$.

Для пары 27 и 32:
$НОК(27; 32) = 27 \cdot 32 = 864$.

Предположение: Если два числа взаимно простые, то их наименьшее общее кратное равно их произведению.

Ответ: $НОК(9; 13) = 117$; $НОК(15; 19) = 285$; $НОК(24; 35) = 840$; $НОК(27; 32) = 864$. Предположение: наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.