Номер 2.97, страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.97. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 12 и 8;
б) 14 и 42;
в) 108 и 132;
г) 90 и 315;
д) 10, 15 и 30;
е) 6, 8 и 12;
ж) 6, 9 и 18;
з) 77, 91 и 143.

2.97

а)

$$\begin{gathered} 12= 2 · 2 · 3 \\ 8 = 2 · 2 · 2 \\ \mathrm{НОК} (12; 8) = 2 · 2 · 3 · 2 =24 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 14 = 2 · 7 \\ 42 = 2 · 3 · 7 \\ \mathrm{НОК} (14; 42) = 2 · 7 · 3 = 42 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 \\ 132 = 2 · 2 · 3 · 11 \\ \mathrm{НОК} (108; 132) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11 =1188 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 90 = 2 · 3 · 3 · 5 \\ 325 = 3 · 3 · 5 · 7 \\ \mathrm{НОК} (90; 315) = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 630 \end{gathered}$$

д)

$$\begin{gathered} 10 = 2 · 5 \\ 15 = 3 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (10; 15; 30) = 2 · 5 · 3 = 30 \end{gathered}$$

е)

$$\begin{gathered} 6 = 2 · 3 \\ 8 = 2 · 2 · 2 \\ 12 = 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОК} (6; 8; 12) = 2 · 3 · 2 · 2 = 24 \end{gathered}$$

ж)

$$\begin{gathered} 6 = 2 · 3 \\ 9 = 3 · 3 \\ 18 = 2 · 3 · 3 \\ \mathrm{НОК} (6; 8; 12) = 2 · 3 · 3 = 18 \end{gathered}$$

з)

$$\begin{gathered} 77 = 7 · 11 \\ 91 = 7 · 13 \\ 143 = 11 · 13 \\ \mathrm{НОК} (77; 91; 143) = 7 · 11 · 13 = 1001 \end{gathered}$$

а) 12 и 8;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 8, разложим их на простые множители.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Разложение числа 8: $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Для нахождения НОК, выберем все простые множители, входящие в разложения, с наибольшим показателем степени.
Для множителя 2 наибольший показатель степени равен 3 (из разложения числа 8).
Для множителя 3 наибольший показатель степени равен 1 (из разложения числа 12).
Перемножим эти множители: $НОК(12, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24.

б) 14 и 42;

Заметим, что число 42 делится на 14 без остатка ($42 : 14 = 3$). Если одно число делится на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
Следовательно, $НОК(14, 42) = 42$.
Проверим через разложение на множители:
$14 = 2 \cdot 7$.
$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Берем все простые множители с наибольшими показателями: $2^1$, $3^1$, $7^1$.
$НОК(14, 42) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42.

в) 108 и 132;

Найдем НОК для чисел 108 и 132, разложив их на простые множители.
$108 = 2 \cdot 54 = 2^2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.
$132 = 2 \cdot 66 = 2^2 \cdot 33 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$.
Чтобы найти НОК, возьмем все простые множители, которые встречаются в разложениях, с их наибольшими степенями.
Для множителя 2 наибольшая степень – 2.
Для множителя 3 наибольшая степень – 3.
Для множителя 11 наибольшая степень – 1.
$НОК(108, 132) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11 = 4 \cdot 27 \cdot 11 = 108 \cdot 11 = 1188$.
Ответ: 1188.

г) 90 и 315;

Разложим числа 90 и 315 на простые множители.
$90 = 10 \cdot 9 = 2 \cdot 5 \cdot 3^2$.
$315 = 5 \cdot 63 = 5 \cdot 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.
Чтобы найти НОК, берем все простые множители из обоих разложений с наибольшими показателями степени.
Простые множители: 2, 3, 5, 7.
$НОК(90, 315) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.
Ответ: 630.

д) 10, 15 и 30;

В этом наборе чисел можно заметить, что 30 является кратным для 10 ($30 = 10 \cdot 3$) и для 15 ($30 = 15 \cdot 2$).
Поскольку 30 делится на все числа в наборе, оно и является их наименьшим общим кратным.
Проверим разложением на множители:
$10 = 2 \cdot 5$.
$15 = 3 \cdot 5$.
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
$НОК(10, 15, 30) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30.

е) 6, 8 и 12;

Разложим числа 6, 8 и 12 на простые множители.
$6 = 2 \cdot 3$.
$8 = 2^3$.
$12 = 2^2 \cdot 3$.
Для нахождения НОК берем все простые множители с их наибольшими показателями степени.
Для множителя 2 наибольший показатель — 3 (из разложения числа 8).
Для множителя 3 наибольший показатель — 1 (из разложения чисел 6 и 12).
$НОК(6, 8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24.

ж) 6, 9 и 18;

В данном наборе чисел 18 является кратным для 6 ($18 = 6 \cdot 3$) и для 9 ($18 = 9 \cdot 2$).
Так как 18 делится на все числа в наборе, оно является их наименьшим общим кратным.
Проверим через разложение на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$.
$9 = 3^2$.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
Берем множители с наибольшими степенями: $2^1$ и $3^2$.
$НОК(6, 9, 18) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18.

з) 77, 91 и 143;

Разложим каждое из чисел на простые множители.
$77 = 7 \cdot 11$.
$91 = 7 \cdot 13$.
$143 = 11 \cdot 13$.
Чтобы найти НОК, необходимо взять все уникальные простые множители из всех разложений. В данном случае это 7, 11 и 13.
Так как каждый множитель входит в разложения в первой степени, мы просто перемножаем их.
$НОК(77, 91, 143) = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.
Ответ: 1001.