Номер 3, страница 54, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 34 и 56;
б) 45 и 65;
в) 102 и 204;
г) 1005 и 960.

3.

а)

$$\begin{gathered} 34 = 2 · 17 \\ 56 = 2 · 2 · 2 · 7 \\ \mathrm{НОД} (34; 56) = 2 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 45 = 3 · 3 · 5 \\ 65 = 5 · 13 \\ \mathrm{НОД} (45; 65) = 5 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 102 = 2 · 3 · 17 \\ 204 = 2 · 2 · 3 · 17 \\ \mathrm{НОД} (102; 204) = 2 · 3 · 17 =102 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 1005 = 3 · 5 · 67 \\ 960 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОД} (1005; 960) = 3 · 5 =15 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, необходимо разложить их на простые множители.
Разложим на множители число 34:
$34 = 2 \cdot 17$
Разложим на множители число 56:
$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Теперь выберем общие множители в обоих разложениях. Это множитель 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — первая ($2^1$).
Следовательно, НОД (34, 56) = 2.
Ответ: 2.

б) Разложим числа 45 и 65 на простые множители.
Разложение числа 45:
$45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$
Разложение числа 65:
$65 = 5 \cdot 13$
Общим простым множителем для этих чисел является 5.
Следовательно, НОД (45, 65) = 5.
Ответ: 5.

в) Разложим числа 102 и 204 на простые множители.
Разложение числа 102:
$102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$
Разложение числа 204:
$204 = 2 \cdot 102 = 2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 17) = 2^2 \cdot 3 \cdot 17$
Общими простыми множителями являются 2, 3 и 17. Чтобы найти НОД, нужно перемножить эти общие множители, взяв каждый с наименьшей степенью, в которой он входит в разложения.
НОД (102, 204) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 17^1 = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$.
Также можно заметить, что $204 = 2 \cdot 102$, то есть 204 делится на 102. Если одно число делится на другое, их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Ответ: 102.

г) Разложим числа 1005 и 960 на простые множители.
Разложение числа 1005:
$1005 = 5 \cdot 201 = 5 \cdot 3 \cdot 67$
Разложение числа 960:
$960 = 10 \cdot 96 = (2 \cdot 5) \cdot (32 \cdot 3) = 2 \cdot 5 \cdot 2^5 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$
Общими простыми множителями в разложениях являются 3 и 5.
Перемножим их, чтобы найти НОД:
НОД (1005, 960) = $3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15.