Номер 3, страница 104, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3. Начертите четырёхугольник PQRT, у которого:
а) PQ || RT;
б) PQ || RT, PT || RQ и PT ⟂ RT.

3.

а) PQ ∥ RT

б) PQ ∥ RT, PT ∥ RQ и PT ⊥ RT

а) PQ || RT;

По условию, в четырёхугольнике PQRT стороны PQ и RT должны быть параллельны ($PQ \parallel RT$). Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Стороны PQ и RT являются основаниями этой трапеции.

Построение такой фигуры можно выполнить следующим образом:

1. Начертите прямую и отметьте на ней отрезок RT.
2. Проведите вторую прямую, параллельную первой.
3. На второй прямой отметьте отрезок PQ. Длина и расположение отрезка PQ относительно RT могут быть произвольными (за исключением случая, когда PQRT становится параллелограммом).
4. Соедините последовательно точки P, Q, R, T отрезками.

Полученный четырёхугольник PQRT будет трапецией, так как у него одна пара параллельных сторон. Если стороны PT и QR также окажутся параллельными, то фигура будет параллелограммом, что также удовлетворяет исходному условию $PQ \parallel RT$.

Пример чертежа (трапеция):

Ответ: Четырёхугольник PQRT, у которого $PQ \parallel RT$, является трапецией (или параллелограммом в частном случае).

б) PQ || RT, PT || RQ и PT ⊥ RT.

Рассмотрим все условия по порядку:

1. Условие $PQ \parallel RT$ и $PT \parallel RQ$ означает, что у четырёхугольника PQRT противолежащие стороны попарно параллельны. Такой четырёхугольник по определению является параллелограммом.
2. Условие $PT \perp RT$ означает, что стороны PT и RT перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle T = 90^\circ$.

Теперь объединим эти факты. Мы имеем параллелограмм PQRT, у которого один из углов прямой ($\angle T = 90^\circ$). У параллелограмма противолежащие углы равны, значит $\angle Q = \angle T = 90^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому:
$\angle R + \angle T = 180^\circ \implies \angle R + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle R = 90^\circ$.
$\angle P + \angle T = 180^\circ \implies \angle P + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle P = 90^\circ$.

Таким образом, все углы четырёхугольника PQRT равны $90^\circ$. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Пример чертежа (прямоугольник):

Ответ: Четырёхугольник PQRT, удовлетворяющий всем заданным условиям, является прямоугольником.