Номер 4, страница 137, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

а) 16 и 12; б) 18 и 24.

4.

а)

$$\begin{gathered} 16 = 2 · 2 · 2 · 2 \\ 12 = 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОД} (16; 12) = 2 · 2 = 4 \\ \mathrm{НОК} (16; 12) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 48 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 18 = 2 · 3 · 3 \\ 24 = 2 · 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОД} (18; 24) = 2 · 3 = 6 \\ \mathrm{НОК} (18; 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72 \end{gathered}$$

а) 16 и 12

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел 16 и 12, разложим их на простые множители.

Разложение числа 16 на простые множители:
$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Разложение числа 12 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД)
Чтобы найти НОД, необходимо взять общие для обоих разложений простые множители с наименьшей степенью и перемножить их. Общий множитель — это 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — 2.

НОД(16, 12) = $2^2 = 4$.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК)
Чтобы найти НОК, необходимо взять все простые множители из обоих разложений, каждый с наибольшей степенью, и перемножить их. В разложениях встречаются множители 2 и 3. Наибольшая степень для 2 — это 4, для 3 — это 1.

НОК(16, 12) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: НОД(16, 12) = 4; НОК(16, 12) = 48.

б) 18 и 24

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел 18 и 24, разложим их на простые множители.

Разложение числа 18 на простые множители:
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$

Разложение числа 24 на простые множители:
$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД)
Берём общие простые множители (2 и 3) с наименьшими степенями (1 для двойки и 1 для тройки) и перемножаем их.

НОД(18, 24) = $2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК)
Берём все простые множители из разложений (2 и 3) с наибольшими степенями (3 для двойки и 2 для тройки) и перемножаем их.

НОК(18, 24) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Ответ: НОД(18, 24) = 6; НОК(18, 24) = 72.