Номер 113, страница 137, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.113. Начертите прямоугольный треугольник и разделите его на четыре равных треугольника.

П.113

Для решения этой задачи мы начнем с произвольного прямоугольного треугольника. Обозначим его вершины как A, B и C, где угол C — прямой (равен $90^\circ$). Стороны, противолежащие этим вершинам, обозначим как a (сторона BC), b (сторона AC) и c (гипотенуза AB).

Ключевая идея заключается в использовании свойства средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Выполним следующие построения:

1. Найдем середину катета AC и обозначим её точкой F. Таким образом, $AF = FC = b/2$.
2. Найдем середину катета BC и обозначим её точкой E. Таким образом, $BE = EC = a/2$.
3. Найдем середину гипотенузы AB и обозначим её точкой D. Таким образом, $AD = DB = c/2$.
4. Соединим точки D, E и F отрезками. В результате исходный треугольник ABC разделится на четыре меньших треугольника: △ADF, △BDE, △CFE и центральный △DEF.

Ниже представлен результат этого построения:

Теперь докажем, что все четыре полученных треугольника равны между собой (то есть конгруэнтны).

Рассмотрим стороны каждого из четырех треугольников:

• Треугольник △CFE: У него угол C прямой ($90^\circ$). Длины его катетов: $CF = AC/2 = b/2$ и $CE = BC/2 = a/2$. Отрезок EF является средней линией треугольника ABC, так как соединяет середины сторон AC и BC. Следовательно, EF параллелен гипотенузе AB и $EF = AB/2 = c/2$.
• Треугольник △ADF: Длина стороны $AF = AC/2 = b/2$. Длина стороны $AD = AB/2 = c/2$. Отрезок DF является средней линией, соединяющей середины сторон AB и AC. Следовательно, DF параллелен стороне BC и $DF = BC/2 = a/2$.
• Треугольник △BDE: Длина стороны $BE = BC/2 = a/2$. Длина стороны $BD = AB/2 = c/2$. Отрезок DE является средней линией, соединяющей середины сторон AB и BC. Следовательно, DE параллелен стороне AC и $DE = AC/2 = b/2$.
• Треугольник △DEF: Мы уже определили длины его сторон, исходя из того, что они являются средними линиями: $DF = a/2$, $DE = b/2$, и $EF = c/2$.

Таким образом, мы видим, что все четыре треугольника (△ADF, △BDE, △CFE, △DEF) имеют одинаковый набор длин сторон: $a/2$, $b/2$ и $c/2$.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, △ADF = △BDE = △CFE = △DEF.

Задача решена: мы разделили прямоугольный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) треугольника.

Ответ:

Чтобы разделить прямоугольный треугольник на четыре равных треугольника, необходимо найти середины каждой из трех его сторон (двух катетов и гипотенузы) и соединить эти точки отрезками. В результате образуются четыре конгруэнтных треугольника, так как по свойству средней линии стороны каждого малого треугольника будут равны половинам сторон исходного большого треугольника.