Номер 110, страница 136, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.110. Друзья договорились погулять вместе. Миша вышел из дома и пошёл со скоростью 3 км/ч. Андрей вышел на две минуты позже и поехал на самокате со скоростью 6 км/ч. Постройте график движения мальчиков, если расстояние между домами 850 м. Определите по графику, через сколько минут Андрей встретит Мишу.

П.110

$3 \mathrm{км}/\mathrm{ч} = \frac{3 · 100\cancel{0}}{6\cancel{0}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}} · 100}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}= \frac{1 · 100}{2}=50 \mathrm{м}/\mathrm{мин}$– скорость Миши;

$6 \mathrm{км}/\mathrm{ч} = \frac{\bcancel{6} · 100\cancel{0}}{\bcancel{6}\cancel{0}} = \frac{{\displaystyle 1· 100}}{{\displaystyle 1}}=100 \mathrm{м}/\mathrm{мин}$ – скорость Андрея.

Андрей встретит Мишу через 7 минут после своего выхода, либо через (7-2) = 5 мин после выхода Андрея.

Для решения задачи сначала необходимо привести все величины к единой системе измерений, а затем построить графики движения в системе координат "Расстояние-Время".

1. Подготовка данных и построение графика движения

Введем систему координат, где ось абсцисс (горизонтальная) — это время $t$ в минутах, а ось ординат (вертикальная) — это расстояние $S$ в метрах. За начало отсчета ($S=0$) примем дом Миши. Тогда дом Андрея находится в точке $S=850$ м. Время начнем отсчитывать с момента выхода Миши ($t=0$).

Переведем скорости мальчиков в метры в минуту:
Скорость Миши: $v_М = 3 \text{ км/ч} = \frac{3 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 50 \text{ м/мин}$.
Скорость Андрея: $v_А = 6 \text{ км/ч} = \frac{6 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 100 \text{ м/мин}$.

Теперь составим уравнения движения для каждого мальчика. Движение равномерное, поэтому зависимость расстояния от времени линейная ($S(t) = S_0 + vt$).

Для Миши: он выходит в $t=0$ из точки $S=0$. Его уравнение движения:
$S_М(t) = 50t$.
Это прямая, проходящая через начало координат (0, 0). Для построения возьмем вторую точку, например, при $t=10$ мин, $S_М(10) = 50 \times 10 = 500$ м.

Для Андрея: он выходит на 2 минуты позже ($t=2$) из точки $S=850$ м и движется навстречу Мише, поэтому его скорость в нашей системе координат отрицательна ($-100$ м/мин). Его уравнение движения (для $t \ge 2$):
$S_А(t) = 850 - 100(t-2)$.
При $t=2$ мин, $S_А(2) = 850 - 100(2-2) = 850$ м. Для построения возьмем вторую точку, например, при $t=8$ мин, $S_А(8) = 850 - 100(8-2) = 850 - 600 = 250$ м. В промежутке времени от $t=0$ до $t=2$ Андрей стоял на месте, поэтому его график на этом участке — горизонтальная линия $S=850$.

Построим графики движения в одной системе координат.

Ответ: График движения представлен выше. Синяя линия — график движения Миши, красная — график движения Андрея. Ось X — время в минутах, ось Y — расстояние от дома Миши в метрах.

2. Определение времени встречи по графику

На графике место и время встречи мальчиков соответствуют точке пересечения их графиков движения.

Чтобы найти время встречи, нужно из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось времени ($t$). Как видно из графика (и отмечено фиолетовой пунктирной линией), проекция точки пересечения на ось времени соответствует значению $t=7$ минут.

Это означает, что встреча произошла через 7 минут после выхода Миши. Поскольку Андрей вышел на 2 минуты позже, он был в пути до встречи $7 - 2 = 5$ минут. Вопрос "через сколько минут Андрей встретит Мишу" обычно подразумевает время, прошедшее с самого начала отсчета ($t=0$).

Ответ: Андрей встретит Мишу через 7 минут (после начала движения Миши).