Номер 23.29, страница 109 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.29. Упростите выражение:

а) $\frac{5}{\sqrt{6}-1} + \frac{3}{\sqrt{6}}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{3}-1} + \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$.

а) $\frac{5}{\sqrt{6}-1} + \frac{3}{\sqrt{6}}$

Для упрощения данного выражения избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби по отдельности, а затем сложим результаты.

1. Упростим первую дробь. Для этого домножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{6}+1)$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$\frac{5}{\sqrt{6}-1} = \frac{5 \cdot (\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)} = \frac{5(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{6}+1)}{6-1} = \frac{5(\sqrt{6}+1)}{5} = \sqrt{6}+1$.

2. Упростим вторую дробь. Для этого домножим ее числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

3. Теперь сложим полученные выражения. Приведем их к общему знаменателю 2:
$(\sqrt{6}+1) + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}+2}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}+2+\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{6}+2}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{6}+2}{2}$.

б) $\frac{2}{\sqrt{3}-1} + \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$

Упростим выражение по частям. Сначала заметим, что можно упростить сумму последних двух слагаемых.

1. Рассмотрим выражение $\frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

2. Теперь подставим полученный результат обратно и выполним вычитание:
$\frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$.

3. Таким образом, исходное выражение значительно упрощается:
$\frac{2}{\sqrt{3}-1} + (\frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}-1} + 0 = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$.

4. Осталось избавиться от иррациональности в знаменателе оставшейся дроби. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$.

Ответ: $\sqrt{3}+1$.