Номер 23.30, страница 109 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.30. Найдите значение выражения $a - \frac{a}{\sqrt{3}}$, если $a = \frac{\sqrt{3}+3}{2}$.

23.30. Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, а затем подставим данное значение переменной $a$.

1. Упростим исходное выражение $a - \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки и приведем разность в скобках к общему знаменателю:

$a - \frac{a}{\sqrt{3}} = a \cdot (1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = a \cdot (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) = a \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}$

2. Теперь преобразуем заданное значение $a = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$. Заметим, что $3$ можно представить как $(\sqrt{3})^2$. Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ в числителе за скобки:

$a = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}{2}$

3. Подставим преобразованное значение $a$ в упрощенное выражение:

$(\frac{\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}})$

Сократим множитель $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{2}$

В числителе получилась формула разности квадратов $(x+y)(y-x) = y^2 - x^2$. Применим ее, где $y = \sqrt{3}$ и $x = 1$:

$\frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$