Номер 23.26, страница 108 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.26. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{18}{\sqrt{3}} $;

б) $ \frac{7}{\sqrt{14}} $;

в) $ -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{35}} $;

г) $ \frac{8}{5\sqrt{2}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез знак корня. В данных примерах достаточно умножить на иррациональный множитель знаменателя.

а) Дана дробь $\frac{18}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от $\sqrt{3}$ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив 18 на 3:

$\frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$

б) Дана дробь $\frac{7}{\sqrt{14}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$, чтобы убрать корень из знаменателя:

$\frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$

в) Дана дробь $-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{35}}$.

Сначала можно упростить выражение под корнем в знаменателе: $\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7} = \sqrt{5}\sqrt{7}$.

$-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{35}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{7}}$

Сократим дробь на $\sqrt{5}$:

$-\frac{1}{\sqrt{7}}$

Теперь избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$-\frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{7}}{7}$

г) Дана дробь $\frac{8}{5\sqrt{2}}$.

Иррациональность в знаменателе создается множителем $\sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$\frac{8}{5\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{10}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{8\sqrt{2}}{10} = \frac{4\sqrt{2}}{5}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{5}$