Номер 23.20, страница 107 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.20. Выполните умножение:

a) $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+2);$

б) $(5\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1);$

в) $(2\sqrt{5}-3)(3-\sqrt{5});$

г) $(4\sqrt{7}+1)(3-\sqrt{7});$

д) $(2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5});$

e) $(2\sqrt{3}-5\sqrt{2})(5\sqrt{3}-2\sqrt{2}).$

а) Для того чтобы выполнить умножение $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+2)$, необходимо раскрыть скобки, умножая каждый член из первой скобки на каждый член из второй скобки. Это делается по правилу $(a-b)(c+d) = ac + ad - bc - bd$.
$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - 1 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot 2$
Выполним умножения:
$(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2$
Теперь упростим выражение, сгруппировав подобные члены:
$3 + (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) - 2 = (3 - 2) + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3}$
Ответ: $1 + \sqrt{3}$

б) Раскроем скобки в выражении $(5\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$ по тому же правилу:
$(5\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 5\sqrt{2} \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{2} - 1 \cdot 1$
Выполним умножения:
$5 \cdot (\sqrt{2})^2 - 5\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 5 \cdot 2 - 5\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1$
Упростим, сгруппировав подобные члены:
$10 - 5\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = (10 - 1) + (-5\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 9 - 4\sqrt{2}$
Ответ: $9 - 4\sqrt{2}$

в) Выполним умножение $(2\sqrt{5}-3)(3-\sqrt{5})$:
$(2\sqrt{5}-3)(3-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} \cdot 3 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 3 \cdot 3 + 3 \cdot \sqrt{5}$
Выполним умножения:
$6\sqrt{5} - 2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 9 + 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 2 \cdot 5 - 9 + 3\sqrt{5}$
Упростим, сгруппировав подобные члены:
$6\sqrt{5} - 10 - 9 + 3\sqrt{5} = (6\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + (-10 - 9) = 9\sqrt{5} - 19$
Ответ: $9\sqrt{5} - 19$

г) Выполним умножение $(4\sqrt{7}+1)(3-\sqrt{7})$:
$(4\sqrt{7}+1)(3-\sqrt{7}) = 4\sqrt{7} \cdot 3 - 4\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 1 \cdot 3 - 1 \cdot \sqrt{7}$
Выполним умножения:
$12\sqrt{7} - 4 \cdot (\sqrt{7})^2 + 3 - \sqrt{7} = 12\sqrt{7} - 4 \cdot 7 + 3 - \sqrt{7}$
Упростим, сгруппировав подобные члены:
$12\sqrt{7} - 28 + 3 - \sqrt{7} = (12\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (-28 + 3) = 11\sqrt{7} - 25$
Ответ: $11\sqrt{7} - 25$

д) Выполним умножение $(2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})$:
$(2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5}) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
Выполним умножения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{10} - \sqrt{10} - (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 2 + 2\sqrt{10} - \sqrt{10} - 5$
Упростим, сгруппировав подобные члены:
$4 + (2\sqrt{10} - \sqrt{10}) - 5 = (4 - 5) + \sqrt{10} = -1 + \sqrt{10}$
Ответ: $\sqrt{10} - 1$

е) Выполним умножение $(2\sqrt{3}-5\sqrt{2})(5\sqrt{3}-2\sqrt{2})$:
$(2\sqrt{3}-5\sqrt{2})(5\sqrt{3}-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}$
Выполним умножения:
$(2 \cdot 5)(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) - (2 \cdot 2)(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) - (5 \cdot 5)(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) + (5 \cdot 2)(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})$
$10 \cdot 3 - 4\sqrt{6} - 25\sqrt{6} + 10 \cdot 2$
Упростим, сгруппировав подобные члены:
$30 - 4\sqrt{6} - 25\sqrt{6} + 20 = (30 + 20) + (-4\sqrt{6} - 25\sqrt{6}) = 50 - 29\sqrt{6}$
Ответ: $50 - 29\sqrt{6}$