Номер 23.15, страница 106 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.15. Упростите выражение:

а) $4\sqrt{3} - \sqrt{12}$;

б) $\sqrt{45} + \sqrt{5}$;

в) $\sqrt{48} - 4\sqrt{3}$;

г) $\sqrt{72} - \sqrt{18} - \sqrt{8}$;

д) $0,5\sqrt{28} - 2\sqrt{7} + \sqrt{343}$;

е) $2\sqrt{125} - 3\sqrt{45} + 2\sqrt{80}$;

ж) $\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{128}$;

з) $\sqrt{24} - \sqrt{96} + \frac{2}{5}\sqrt{150}$.

а)

Для упрощения выражения $4\sqrt{3} - \sqrt{12}$ необходимо привести корни к одному виду. Для этого упростим $\sqrt{12}$.

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $12 = 4 \times 3$.

Теперь мы можем вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$4\sqrt{3} - \sqrt{12} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

Теперь выполним вычитание, так как у нас есть подобные слагаемые:

$(4 - 2)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{45} + \sqrt{5}$ упростим $\sqrt{45}$.

Разложим 45 на множители: $45 = 9 \times 5$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Подставим значение в выражение:

$\sqrt{45} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} + \sqrt{5}$

Сложим подобные слагаемые:

$(3 + 1)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Ответ: $4\sqrt{5}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt{48} - 4\sqrt{3}$ упростим $\sqrt{48}$.

Разложим 48 на множители: $48 = 16 \times 3$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим значение в выражение:

$\sqrt{48} - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $0$

г)

Для упрощения выражения $\sqrt{72} - \sqrt{18} - \sqrt{8}$ упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

Выполним действия с подобными слагаемыми:

$(6 - 3 - 2)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

д)

Упростим выражение $0,5\sqrt{28} - 2\sqrt{7} + \sqrt{343}$. Для этого упростим каждый член, содержащий корень.

$0,5\sqrt{28} = 0,5\sqrt{4 \times 7} = 0,5 \times 2\sqrt{7} = 1\sqrt{7} = \sqrt{7}$

$\sqrt{343} = \sqrt{49 \times 7} = 7\sqrt{7}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 7\sqrt{7}$

Выполним действия с подобными слагаемыми:

$(1 - 2 + 7)\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$

Ответ: $6\sqrt{7}$

е)

Упростим выражение $2\sqrt{125} - 3\sqrt{45} + 2\sqrt{80}$. Упростим каждый член выражения.

$2\sqrt{125} = 2\sqrt{25 \times 5} = 2 \times 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$

$3\sqrt{45} = 3\sqrt{9 \times 5} = 3 \times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$

$2\sqrt{80} = 2\sqrt{16 \times 5} = 2 \times 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$10\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 8\sqrt{5}$

Выполним действия с подобными слагаемыми:

$(10 - 9 + 8)\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$

Ответ: $9\sqrt{5}$

ж)

Упростим выражение $\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{128}$. Упростим корни $\sqrt{50}$ и $\sqrt{128}$.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 8\sqrt{2}$

Выполним действия с подобными слагаемыми:

$(1 + 5 - 8)\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$

з)

Упростим выражение $\sqrt{24} - \sqrt{96} + \frac{2}{5}\sqrt{150}$. Упростим каждый член выражения.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$

$\frac{2}{5}\sqrt{150} = \frac{2}{5}\sqrt{25 \times 6} = \frac{2}{5} \times 5\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6}$

Выполним действия с подобными слагаемыми:

$(2 - 4 + 2)\sqrt{6} = 0 \times \sqrt{6} = 0$

Ответ: $0$