Номер 23.9, страница 105 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.9. Верно ли, что $5 \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{10}$? Внесите множитель под знак корня:

a) $3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$;

б) $-7 \cdot \sqrt{\frac{3}{7}}$.

Сначала проверим верность равенства $5 \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{10}$.
Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Это соответствует правилу $a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ при $a \ge 0$.
Применим данное правило к левой части исходного равенства:
$5 \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{2}{5}}$
Теперь выполним умножение под знаком корня:
$\sqrt{25 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{5}} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{10}$
В результате преобразования мы получили, что левая часть равенства равна правой ($\sqrt{10} = \sqrt{10}$). Следовательно, данное равенство является верным.

Ответ: Да, верно.

Теперь внесем множители под знак корня в следующих выражениях.

а) $3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$
Множитель 3 — положительное число. Вносим его под знак корня, возведя в квадрат:
$3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{2}{3}}$
Упростим выражение под корнем:
$\sqrt{9 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{3}} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$.

б) $-7 \cdot \sqrt{\frac{3}{7}}$
Множитель -7 — отрицательное число. В этом случае знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится положительное число 7, возведенное в квадрат. Правило для отрицательного множителя $c$ выглядит так: $c \cdot \sqrt{b} = -\sqrt{c^2 \cdot b}$ при $c < 0$.
Применим это правило:
$-7 \cdot \sqrt{\frac{3}{7}} = -\sqrt{7^2 \cdot \frac{3}{7}} = -\sqrt{49 \cdot \frac{3}{7}}$
Упростим выражение под корнем:
$-\sqrt{49 \cdot \frac{3}{7}} = -\sqrt{\frac{49 \cdot 3}{7}} = -\sqrt{7 \cdot 3} = -\sqrt{21}$

Ответ: $-\sqrt{21}$.