Номер 23.5, страница 105 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.5. Вынесите множитель за знак корня:

а) $ \sqrt{50a^2b^4} $, если $ a < 0 $;

б) $ \sqrt{x^5y} $, если $ x < 0 $;

в) $ \sqrt{49m^2n} $, если $ m < 0 $;

г) $ \sqrt{72x^{10}y^5} $, если $ x \le 0 $;

д) $ \sqrt{300a^{12}b^6} $, если $ b < 0 $;

е) $ \sqrt{0,81c^5d^7} $, если $ d < 0 $.

а)

Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{50a^2b^4}$ при условии $a < 0$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.

1. Разложим числовой коэффициент на множители: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$.

2. Перепишем выражение: $\sqrt{50a^2b^4} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^4} = \sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 \cdot 2}$.

3. Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ и правилом $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 \cdot 2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |a| \cdot |b^2| \cdot \sqrt{2}$.

4. Раскроем модули с учетом заданных условий. По условию $a < 0$, следовательно, $|a| = -a$. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), поэтому $|b^2| = b^2$.

5. Подставим раскрытые модули в выражение: $5 \cdot (-a) \cdot b^2 \cdot \sqrt{2} = -5ab^2\sqrt{2}$.

Ответ: $-5ab^2\sqrt{2}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^5y}$ при условии $x < 0$.

1. Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^5y \ge 0$. Поскольку по условию $x < 0$, то $x^5$ также отрицательно ($x^5 < 0$). Чтобы произведение $x^5y$ было неотрицательным, множитель $y$ должен быть неположительным, то есть $y \le 0$.

2. Представим $x^5$ в виде произведения, содержащего множитель в четной степени: $x^5 = x^4 \cdot x = (x^2)^2 \cdot x$.

3. Перепишем выражение под корнем: $\sqrt{x^5y} = \sqrt{x^4 \cdot xy} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot xy}$.

4. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{(x^2)^2 \cdot xy} = \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{xy} = |x^2|\sqrt{xy}$.

5. Раскроем модуль. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому $|x^2| = x^2$.

6. Получаем итоговый результат: $x^2\sqrt{xy}$.

Ответ: $x^2\sqrt{xy}$.

в)

Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{49m^2n}$ при условии $m < 0$.

1. Для существования корня необходимо, чтобы $49m^2n \ge 0$. Так как $49 > 0$ и $m^2 \ge 0$, это условие выполняется при $n \ge 0$.

2. Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов: $\sqrt{49m^2n} = \sqrt{7^2 \cdot m^2 \cdot n}$.

3. Вынесем множители за знак корня: $\sqrt{7^2 \cdot m^2 \cdot n} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n} = 7 \cdot |m| \cdot \sqrt{n}$.

4. По условию $m < 0$, поэтому $|m| = -m$.

5. Подставим значение модуля в выражение: $7 \cdot (-m) \cdot \sqrt{n} = -7m\sqrt{n}$.

Ответ: $-7m\sqrt{n}$.

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{72x^{10}y^5}$ при условии $x \le 0$.

1. Область допустимых значений: $72x^{10}y^5 \ge 0$. Поскольку $72 > 0$ и $x^{10} = (x^5)^2 \ge 0$, необходимо, чтобы $y^5 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

2. Разложим на множители подкоренное выражение, выделяя полные квадраты: $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$. $x^{10} = (x^5)^2$. $y^5 = y^4 \cdot y = (y^2)^2 \cdot y$.

3. Перепишем выражение: $\sqrt{72x^{10}y^5} = \sqrt{36 \cdot 2 \cdot x^{10} \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt{6^2 \cdot (x^5)^2 \cdot (y^2)^2 \cdot 2y}$.

4. Вынесем множители из-под корня: $\sqrt{6^2} \cdot \sqrt{(x^5)^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2} \cdot \sqrt{2y} = 6 \cdot |x^5| \cdot |y^2| \cdot \sqrt{2y}$.

5. Раскроем модули. По условию $x \le 0$. Если $x < 0$, то $x^5 < 0$, и $|x^5| = -x^5$. Если $x=0$, то $|x^5| = 0 = -x^5$. Значит, при $x \le 0$ имеем $|x^5| = -x^5$. Мы определили, что $y \ge 0$, поэтому $y^2 \ge 0$, и $|y^2| = y^2$.

6. Соберем выражение: $6 \cdot (-x^5) \cdot y^2 \cdot \sqrt{2y} = -6x^5y^2\sqrt{2y}$.

Ответ: $-6x^5y^2\sqrt{2y}$.

д)

Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{300a^{12}b^6}$ при условии $b < 0$.

1. Разложим подкоренное выражение на множители: $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$. $a^{12} = (a^6)^2$. $b^6 = (b^3)^2$.

2. Перепишем выражение: $\sqrt{300a^{12}b^6} = \sqrt{100 \cdot 3 \cdot a^{12} \cdot b^6} = \sqrt{10^2 \cdot (a^6)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot 3}$.

3. Вынесем множители за знак корня: $\sqrt{10^2} \cdot \sqrt{(a^6)^2} \cdot \sqrt{(b^3)^2} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot |a^6| \cdot |b^3| \cdot \sqrt{3}$.

4. Раскроем модули. Выражение $a^6 = (a^3)^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^6| = a^6$. По условию $b < 0$, значит $b^3$ также отрицательно ($b^3 < 0$). Следовательно, $|b^3| = -b^3$.

5. Подставим значения модулей: $10 \cdot a^6 \cdot (-b^3) \cdot \sqrt{3} = -10a^6b^3\sqrt{3}$.

Ответ: $-10a^6b^3\sqrt{3}$.

е)

Рассмотрим выражение $\sqrt{0,81c^5d^7}$ при условии $d < 0$.

1. Область допустимых значений: $0,81c^5d^7 \ge 0$. Так как $0,81 > 0$ и по условию $d < 0$ (значит $d^7 < 0$), для выполнения неравенства необходимо, чтобы $c^5 \le 0$, то есть $c \le 0$.

2. Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя квадраты: $0,81 = (0,9)^2$. $c^5 = c^4 \cdot c = (c^2)^2 \cdot c$. $d^7 = d^6 \cdot d = (d^3)^2 \cdot d$.

3. Перепишем выражение: $\sqrt{0,81c^5d^7} = \sqrt{0,81 \cdot c^4 \cdot d^6 \cdot cd} = \sqrt{(0,9)^2 \cdot (c^2)^2 \cdot (d^3)^2 \cdot cd}$.

4. Вынесем множители из-под корня. Под корнем останется произведение $cd$, которое неотрицательно, так как $c \le 0$ и $d < 0$. $\sqrt{(0,9)^2} \cdot \sqrt{(c^2)^2} \cdot \sqrt{(d^3)^2} \cdot \sqrt{cd} = 0,9 \cdot |c^2| \cdot |d^3| \cdot \sqrt{cd}$.

5. Раскроем модули. Выражение $c^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|c^2| = c^2$. По условию $d < 0$, значит $d^3 < 0$, и $|d^3| = -d^3$.

6. Соберем итоговое выражение: $0,9 \cdot c^2 \cdot (-d^3) \cdot \sqrt{cd} = -0,9c^2d^3\sqrt{cd}$.

Ответ: $-0,9c^2d^3\sqrt{cd}$.