Номер 22.35, страница 104 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.35*. Вычислите:

а) $\sqrt{2\frac{7}{81} \cdot 150 - 2\frac{7}{81} \cdot 6} + \sqrt{\frac{49}{42,5^2 - 6,5^2}};$

б) $\sqrt{\sqrt{32} \cdot \sqrt{0,02} \cdot 0,2};$

в) $\sqrt{\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{24}} \cdot \sqrt{\frac{3}{26}}}.$

а) $\sqrt{2\frac{7}{81} \cdot 150 - 2\frac{7}{81} \cdot 6} + \sqrt{\frac{49}{42,5^2 - 6,5^2}}$
Для решения данного выражения, вычислим каждое слагаемое по отдельности.
1. Первое слагаемое: $\sqrt{2\frac{7}{81} \cdot 150 - 2\frac{7}{81} \cdot 6}$.
Вынесем общий множитель $2\frac{7}{81}$ за скобки под знаком корня:
$\sqrt{2\frac{7}{81} \cdot (150 - 6)} = \sqrt{2\frac{7}{81} \cdot 144}$.
Преобразуем смешанное число $2\frac{7}{81}$ в неправильную дробь: $2\frac{7}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 7}{81} = \frac{162 + 7}{81} = \frac{169}{81}$.
Подставим полученную дробь в выражение под корнем: $\sqrt{\frac{169}{81} \cdot 144}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{\frac{169}{81}} \cdot \sqrt{144} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}} \cdot \sqrt{144} = \frac{13}{9} \cdot 12$.
Сокращаем дробь: $\frac{13}{9} \cdot 12 = \frac{13 \cdot 12}{9} = \frac{13 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{13 \cdot 4}{3} = \frac{52}{3}$.
2. Второе слагаемое: $\sqrt{\frac{49}{42,5^2 - 6,5^2}}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к знаменателю:
$42,5^2 - 6,5^2 = (42,5 - 6,5)(42,5 + 6,5) = 36 \cdot 49$.
Подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{49}{36 \cdot 49}} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$.
3. Сложим полученные значения:
$\frac{52}{3} + \frac{1}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{52 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{104}{6} + \frac{1}{6} = \frac{104+1}{6} = \frac{105}{6}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{105 \div 3}{6 \div 3} = \frac{35}{2} = 17,5$.
Ответ: $17,5$.

б) $\sqrt{\sqrt{32} \cdot \sqrt{0,02} \cdot 0,2}$
Сначала вычислим выражение, находящееся под внешним корнем: $\sqrt{32} \cdot \sqrt{0,02} \cdot 0,2$.
По свойству произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, перемножим первые два множителя:
$\sqrt{32} \cdot \sqrt{0,02} = \sqrt{32 \cdot 0,02} = \sqrt{0,64} = 0,8$.
Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель $0,2$:
$0,8 \cdot 0,2 = 0,16$.
Подставим это значение обратно под внешний корень:
$\sqrt{0,16} = 0,4$.
Ответ: $0,4$.

в) $\sqrt{\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{24}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{26}}}$
Перемножим дроби под внешним знаком корня:
$\sqrt{\frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{26}}}$.
Разложим числа под внутренними корнями на множители для упрощения:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
$\sqrt{26} = \sqrt{2 \cdot 13}$.
Подставим разложенные значения в выражение:
$\sqrt{\frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2 \cdot 13}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{13}}}$.
Сократим $\sqrt{13}$ в числителе и знаменателе:
$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}}$.
Перемножим корни в знаменателе: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12}$.
$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{12}}}$.
Упростим корень в знаменателе: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}}$.
Сократим $\sqrt{3}$:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $0,5$.