Номер 22.37, страница 104 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.37*. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{(x+1)^2}$ при $x \ge -1$;

б) $y = \sqrt{(x-5)^2}$ при $x \le 5$;

в) $y = \sqrt{(x-1)^2} + (\sqrt{x-1})^2$;

г) $y = \sqrt{(x-3)^2} + 2(\sqrt{3-x})^2$.

а)

Дана функция $y = \sqrt{(x+1)^2}$ при $x \ge -1$. Для упрощения выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $y = |x+1|$. По условию задано, что $x \ge -1$. Это означает, что выражение под знаком модуля $x+1$ является неотрицательным ($x+1 \ge 0$). По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то $|a| = a$. Следовательно, $|x+1| = x+1$. Итак, исходная функция на заданной области определения эквивалентна линейной функции $y = x+1$. Графиком этой функции является прямая. Поскольку у нас есть ограничение $x \ge -1$, то графиком будет луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=-1$. Найдем ординату начальной точки луча: при $x=-1$, $y = -1+1 = 0$. Начальная точка — $(-1, 0)$. Для построения луча найдем еще одну точку, принадлежащую ему, например, при $x=0$, $y=0+1=1$. Точка — $(0, 1)$. Таким образом, график функции — это луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и проходящий через точку $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x+1$ с началом в точке $(-1, 0)$.

б)

Дана функция $y = \sqrt{(x-5)^2}$ при $x \le 5$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $y = |x-5|$. Согласно условию $x \le 5$, выражение под знаком модуля $x-5$ является неположительным ($x-5 \le 0$). По определению модуля, если подмодульное выражение неположительно, то $|a| = -a$. Следовательно, $|x-5| = -(x-5) = -x+5$. Исходная функция на заданной области определения сводится к линейной функции $y = -x+5$. Графиком является луч, ограниченный справа точкой с абсциссой $x=5$. Найдем ординату конечной точки луча: при $x=5$, $y = -5+5=0$. Конечная точка — $(5, 0)$. Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=-0+5=5$. Точка — $(0, 5)$. Таким образом, график функции — это луч, идущий из бесконечности, проходящий через точку $(0, 5)$ и заканчивающийся в точке $(5, 0)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -x+5$, ограниченный справа точкой $(5, 0)$.

в)

Дана функция $y = \sqrt{(x-1)^2} + (\sqrt{x-1})^2$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем во втором слагаемом должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Теперь упростим функцию, используя тождества $\sqrt{a^2} = |a|$ и $(\sqrt{a})^2 = a$ (при $a \ge 0$). Первое слагаемое: $\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$. Второе слагаемое: $(\sqrt{x-1})^2 = x-1$, так как $x-1 \ge 0$ по ОДЗ. Функция принимает вид: $y = |x-1| + (x-1)$. Поскольку ОДЗ функции $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$, и значит $|x-1| = x-1$. Подставляем это в уравнение: $y = (x-1) + (x-1) = 2x - 2$. Нам нужно построить график линейной функции $y = 2x-2$ при $x \ge 1$. Это луч с началом в точке, где $x=1$. Найдем начальную точку: при $x=1$, $y = 2(1)-2 = 0$. Точка $(1, 0)$. Найдем еще одну точку на луче: при $x=2$, $y = 2(2)-2 = 2$. Точка $(2, 2)$. График — луч, выходящий из $(1, 0)$ и проходящий через $(2, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = 2x-2$ с началом в точке $(1, 0)$.

г)

Дана функция $y = \sqrt{(x-3)^2} + 2(\sqrt{3-x})^2$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем во втором слагаемом должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Упростим функцию. Первое слагаемое: $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$. Второе слагаемое: $2(\sqrt{3-x})^2 = 2(3-x)$, так как $3-x \ge 0$ по ОДЗ. Функция принимает вид: $y = |x-3| + 2(3-x)$. Поскольку ОДЗ функции $x \le 3$, то $x-3 \le 0$, и значит $|x-3| = -(x-3) = -x+3$. Подставляем это в уравнение: $y = (-x+3) + 2(3-x) = -x+3+6-2x = -3x+9$. Нужно построить график линейной функции $y = -3x+9$ при $x \le 3$. Это луч, ограниченный справа точкой, где $x=3$. Найдем конечную точку луча: при $x=3$, $y = -3(3)+9 = 0$. Точка $(3, 0)$. Найдем еще одну точку на луче: при $x=0$, $y = -3(0)+9 = 9$. Точка $(0, 9)$. График — луч, заканчивающийся в точке $(3, 0)$ и проходящий через точку $(0, 9)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -3x+9$, ограниченный справа точкой $(3, 0)$.