Номер 22.31, страница 103 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.31. Преобразуйте выражение:

а) $\sqrt{49a^{10}b^6}$, если $a > 0, b < 0$;

б) $-\sqrt{0,25a^{12}b^{18}}$, если $b \ge 0$;

в) $\sqrt{\frac{100a^{14}}{81b^8}}$, если $a < 0$;

г) $-\sqrt{\frac{36a^{24}}{121b^{22}}}$, если $b < 0$.

а) Для преобразования выражения $\sqrt{49a^{10}b^6}$ при условиях $a > 0$ и $b < 0$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{49a^{10}b^6} = \sqrt{49 \cdot (a^5)^2 \cdot (b^3)^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{(a^5)^2} \cdot \sqrt{(b^3)^2} = 7 \cdot |a^5| \cdot |b^3|$.
Теперь раскроем модули с учетом заданных условий:
1. Так как $a > 0$, то $a^5 > 0$, следовательно $|a^5| = a^5$.
2. Так как $b < 0$, то $b^3 < 0$, следовательно $|b^3| = -b^3$.
Подставим полученные выражения обратно:
$7 \cdot a^5 \cdot (-b^3) = -7a^5b^3$.
Ответ: $-7a^5b^3$.

б) Преобразуем выражение $-\sqrt{0,25a^{12}b^{18}}$ при условии $b \ge 0$.
$-\sqrt{0,25a^{12}b^{18}} = -\sqrt{0,25 \cdot (a^6)^2 \cdot (b^9)^2} = -(\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{(a^6)^2} \cdot \sqrt{(b^9)^2}) = -0,5 \cdot |a^6| \cdot |b^9|$.
Раскроем модули:
1. Переменная $a$ возводится в четную степень $6$, поэтому $a^6 \ge 0$ при любом значении $a$. Следовательно, $|a^6| = a^6$.
2. По условию $b \ge 0$, поэтому $b^9 \ge 0$. Следовательно, $|b^9| = b^9$.
Подставим полученные выражения:
$-0,5 \cdot a^6 \cdot b^9 = -0,5a^6b^9$.
Ответ: $-0,5a^6b^9$.

в) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{100a^{14}}{81b^8}}$ при условии $a < 0$.
Воспользуемся свойством корня из дроби:
$\sqrt{\frac{100a^{14}}{81b^8}} = \frac{\sqrt{100a^{14}}}{\sqrt{81b^8}} = \frac{\sqrt{100 \cdot (a^7)^2}}{\sqrt{81 \cdot (b^4)^2}} = \frac{10|a^7|}{9|b^4|}$.
Раскроем модули с учетом условий:
1. По условию $a < 0$, поэтому $a^7 < 0$ (нечетная степень сохраняет знак). Следовательно, $|a^7| = -a^7$.
2. Переменная $b$ возводится в четную степень $4$, поэтому $b^4 \ge 0$ при любом $b \ne 0$. Следовательно, $|b^4| = b^4$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{10(-a^7)}{9b^4} = -\frac{10a^7}{9b^4}$.
Ответ: $-\frac{10a^7}{9b^4}$.

г) Преобразуем выражение $-\sqrt{\frac{36a^{24}}{121b^{22}}}$ при условии $b < 0$.
$-\sqrt{\frac{36a^{24}}{121b^{22}}} = -\frac{\sqrt{36a^{24}}}{\sqrt{121b^{22}}} = -\frac{\sqrt{36 \cdot (a^{12})^2}}{\sqrt{121 \cdot (b^{11})^2}} = -\frac{6|a^{12}|}{11|b^{11}|}$.
Раскроем модули:
1. Переменная $a$ возводится в четную степень $12$, поэтому $a^{12} \ge 0$ при любом $a$. Следовательно, $|a^{12}| = a^{12}$.
2. По условию $b < 0$, поэтому $b^{11} < 0$ (нечетная степень). Следовательно, $|b^{11}| = -b^{11}$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$-\frac{6a^{12}}{11(-b^{11})} = -(-\frac{6a^{12}}{11b^{11}}) = \frac{6a^{12}}{11b^{11}}$.
Ответ: $\frac{6a^{12}}{11b^{11}}$.