Номер 22.26, страница 102 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.26. Упростите выражение, применив свойства корня:

а) $\sqrt{m^2}$;

б) $\sqrt{(5b)^2}$;

в) $\sqrt{49x^2}$;

г) $\sqrt{\frac{25a^2}{16}}$.

Для упрощения данных выражений мы будем использовать основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это свойство означает, что квадратный корень из квадрата любого выражения равен модулю (абсолютной величине) этого выражения.

а)

Дано выражение $\sqrt{m^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где в нашем случае $a = m$, получаем:

$\sqrt{m^2} = |m|$

Поскольку знак переменной $m$ неизвестен, мы должны оставить ответ в виде модуля.

Ответ: $|m|$.

б)

Дано выражение $\sqrt{(5b)^2}$.

Используем то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Здесь $a = 5b$.

$\sqrt{(5b)^2} = |5b|$

Используя свойство модуля произведения $|xy| = |x| \cdot |y|$, мы можем упростить выражение:

$|5b| = |5| \cdot |b| = 5|b|$

Ответ: $5|b|$.

в)

Дано выражение $\sqrt{49x^2}$.

Сначала представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$49x^2 = 7^2 \cdot x^2 = (7x)^2$

Теперь выражение имеет вид $\sqrt{(7x)^2}$.

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = 7x$:

$\sqrt{(7x)^2} = |7x|$

Упростим, используя свойство модуля произведения:

$|7x| = |7| \cdot |x| = 7|x|$

Ответ: $7|x|$.

г)

Дано выражение $\sqrt{\frac{25a^2}{16}}$.

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$\sqrt{\frac{25a^2}{16}} = \frac{\sqrt{25a^2}}{\sqrt{16}}$

Теперь упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $\sqrt{25a^2} = \sqrt{(5a)^2} = |5a| = 5|a|$.

Знаменатель: $\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4$.

Собираем дробь обратно:

$\frac{5|a|}{4}$

В качестве альтернативного способа, можно представить все подкоренное выражение как квадрат дроби:

$\frac{25a^2}{16} = \frac{5^2 a^2}{4^2} = \left(\frac{5a}{4}\right)^2$

Тогда $\sqrt{\frac{25a^2}{16}} = \sqrt{\left(\frac{5a}{4}\right)^2}$.

Применяем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{\left(\frac{5a}{4}\right)^2} = \left|\frac{5a}{4}\right| = \frac{|5a|}{|4|} = \frac{5|a|}{4}$

Ответ: $\frac{5|a|}{4}$.