Номер 22.22, страница 101 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.22. Определите, рациональными или иррациональными числами являются значения выражений $a^2$, $a^3$ и $5a\sqrt{5}$ при:

а) $a = \sqrt{5}$;

б) $a = -2\sqrt{5}$;

в) $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

г) $a = -\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

а) При $a=\sqrt{5}$ имеем:
Выражение $a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Число 5 является целым, а значит, и рациональным.
Выражение $a^3 = (\sqrt{5})^3 = (\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$. Это число является иррациональным, так как представляет собой произведение рационального числа 5 и иррационального числа $\sqrt{5}$.
Выражение $5a\sqrt{5} = 5 \cdot (\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = 5 \cdot 5 = 25$. Число 25 является целым, а значит, и рациональным.
Ответ: $a^2$ – рациональное число, $a^3$ – иррациональное число, $5a\sqrt{5}$ – рациональное число.

б) При $a=-2\sqrt{5}$ имеем:
Выражение $a^2 = (-2\sqrt{5})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. Число 20 является целым, а значит, и рациональным.
Выражение $a^3 = (-2\sqrt{5})^3 = (-2)^3 \cdot (\sqrt{5})^3 = -8 \cdot 5\sqrt{5} = -40\sqrt{5}$. Это число является иррациональным, так как представляет собой произведение рационального числа -40 и иррационального числа $\sqrt{5}$.
Выражение $5a\sqrt{5} = 5 \cdot (-2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = -10 \cdot (\sqrt{5})^2 = -10 \cdot 5 = -50$. Число -50 является целым, а значит, и рациональным.
Ответ: $a^2$ – рациональное число, $a^3$ – иррациональное число, $5a\sqrt{5}$ – рациональное число.

в) При $a=\frac{\sqrt{5}}{2}$ имеем:
Выражение $a^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{5}{4}$. Число $\frac{5}{4}$ является рациональным.
Выражение $a^3 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{5})^3}{2^3} = \frac{5\sqrt{5}}{8}$. Это число является иррациональным, так как представляет собой произведение рационального числа $\frac{5}{8}$ и иррационального числа $\sqrt{5}$.
Выражение $5a\sqrt{5} = 5 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \sqrt{5} = \frac{5 \cdot (\sqrt{5})^2}{2} = \frac{5 \cdot 5}{2} = \frac{25}{2}$. Число $\frac{25}{2}$ является рациональным.
Ответ: $a^2$ – рациональное число, $a^3$ – иррациональное число, $5a\sqrt{5}$ – рациональное число.

г) При $a=-\frac{2\sqrt{5}}{3}$ имеем:
Выражение $a^2 = \left(-\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2}{3^2} = \frac{4 \cdot 5}{9} = \frac{20}{9}$. Число $\frac{20}{9}$ является рациональным.
Выражение $a^3 = \left(-\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3 \cdot (\sqrt{5})^3}{3^3} = \frac{-8 \cdot 5\sqrt{5}}{27} = -\frac{40\sqrt{5}}{27}$. Это число является иррациональным, так как представляет собой произведение рационального числа $-\frac{40}{27}$ и иррационального числа $\sqrt{5}$.
Выражение $5a\sqrt{5} = 5 \cdot \left(-\frac{2\sqrt{5}}{3}\right) \cdot \sqrt{5} = -\frac{5 \cdot 2 \cdot (\sqrt{5})^2}{3} = -\frac{10 \cdot 5}{3} = -\frac{50}{3}$. Число $-\frac{50}{3}$ является рациональным.
Ответ: $a^2$ – рациональное число, $a^3$ – иррациональное число, $5a\sqrt{5}$ – рациональное число.