Номер 22.18, страница 101 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.18. Найдите значение выражения, используя рациональный способ решения:

а) $\sqrt{29^2 - 20^2}$;

б) $\sqrt{37^2 - 12^2}$;

в) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;

г) $\sqrt{1,53^2 - 0,72^2}$.

Для решения всех выражений используется рациональный способ, основанный на формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Это позволяет избежать возведения чисел в квадрат и упростить вычисления под корнем.

а) Применим формулу разности квадратов для выражения под корнем, где $a = 29$ и $b = 20$.
$\sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{(29 - 20)(29 + 20)} = \sqrt{9 \cdot 49}$.
Далее используем свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{49} = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21

б) Аналогично предыдущему пункту, применим формулу разности квадратов, где $a = 37$ и $b = 12$.
$\sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{(37 - 12)(37 + 12)} = \sqrt{25 \cdot 49}$.
Извлечем корни из множителей:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35$.
Ответ: 35

в) Используем ту же формулу для десятичных дробей, где $a = 6,8$ и $b = 3,2$.
$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 10}$.
Выполним умножение под корнем:
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

г) Снова применяем формулу разности квадратов. Здесь $a = 1,53$ и $b = 0,72$.
$\sqrt{1,53^2 - 0,72^2} = \sqrt{(1,53 - 0,72)(1,53 + 0,72)} = \sqrt{0,81 \cdot 2,25}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{0,81} \cdot \sqrt{2,25} = 0,9 \cdot 1,5 = 1,35$.
Ответ: 1,35