Номер 22.16, страница 101 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.16. Докажите, что значение выражения является целым числом:

а) $ (\sqrt{3})^3 \cdot \sqrt{75}; $

б) $ (5\sqrt{2})^3 \cdot \sqrt{2}; $

в) $ \frac{(\sqrt{5})^3}{\sqrt{125}}; $

г) $ \frac{16\sqrt{2}}{(-2\sqrt{2})^3}. $

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(\sqrt{3})^3 \cdot \sqrt{75}$ является целым числом, упростим его. Сначала преобразуем каждый множитель, используя свойства корней $(\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}$ и $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.

Первый множитель: $(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Второй множитель: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$3\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 15 \cdot 3 = 45$.

Значение выражения равно 45, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: 45.

б) Рассмотрим выражение $(5\sqrt{2})^3 \cdot \sqrt{2}$ и докажем, что его значение — целое число. Для этого воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.

Упростим первый множитель:

$(5\sqrt{2})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 125 \cdot \sqrt{2^3} = 125 \cdot \sqrt{8} = 125 \cdot \sqrt{4 \cdot 2} = 125 \cdot 2\sqrt{2} = 250\sqrt{2}$.

Теперь умножим результат на второй множитель:

$250\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 250 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 250 \cdot 2 = 500$.

Значение выражения равно 500, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: 500.

в) Докажем, что значение выражения $\frac{(\sqrt{5})^3}{\sqrt{125}}$ является целым числом. Упростим числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель: $(\sqrt{5})^3 = \sqrt{5^3} = \sqrt{125}$.

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{125}} = 1$.

Можно также решить по-другому. Упростим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: $(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$.

Знаменатель: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Тогда частное равно: $\frac{5\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = 1$.

Значение выражения равно 1, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: 1.

г) Докажем, что значение выражения $\frac{16\sqrt{2}}{(-2\sqrt{2})^3}$ является целым числом. Сначала упростим знаменатель.

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для знаменателя:

$(-2\sqrt{2})^3 = (-2)^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = -8 \cdot \sqrt{2^3} = -8 \cdot \sqrt{8} = -8 \cdot \sqrt{4 \cdot 2} = -8 \cdot 2\sqrt{2} = -16\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение:

$\frac{16\sqrt{2}}{-16\sqrt{2}} = -1$.

Значение выражения равно -1, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: -1.