Номер 22.9, страница 99 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.9. Найдите значение выражения, используя свойства квадратных корней:

а) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{45}$; б) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$; в) $\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{10}$;

г) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{0,02}$; д) $\sqrt{0,2} \cdot \sqrt{0,8}$; е) $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}$;

ж) $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}}$; з) $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$; и) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{90}}$;

к) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{22,5}}$; л) $\sqrt{2} : \sqrt{338}$; м) $\sqrt{40,5} : \sqrt{0,5}$.

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt{5} \cdot \sqrt{45}$ воспользуемся свойством произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для $a \ge 0, b \ge 0$.
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225}$.
Так как $15^2 = 225$, то $\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15.

б) Для нахождения значения выражения $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$ применим свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64}$.
Так как $8^2 = 64$, то $\sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8.

в) Для нахождения значения выражения $\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{10}$ используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{16,9 \cdot 10} = \sqrt{169}$.
Так как $13^2 = 169$, то $\sqrt{169} = 13$.
Ответ: 13.

г) Для нахождения значения выражения $\sqrt{18} \cdot \sqrt{0,02}$ используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{18} \cdot \sqrt{0,02} = \sqrt{18 \cdot 0,02} = \sqrt{0,36}$.
Так как $0,6^2 = 0,36$, то $\sqrt{0,36} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

д) Для нахождения значения выражения $\sqrt{0,2} \cdot \sqrt{0,8}$ используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{0,2} \cdot \sqrt{0,8} = \sqrt{0,2 \cdot 0,8} = \sqrt{0,16}$.
Так как $0,4^2 = 0,16$, то $\sqrt{0,16} = 0,4$.
Ответ: 0,4.

е) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0, b > 0$.
$\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36}$.
Так как $6^2 = 36$, то $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6.

ж) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}}$ применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{300}{27}}$.
Сократим дробь под корнем на 3: $\frac{300}{27} = \frac{100}{9}$.
Получаем $\sqrt{\frac{100}{9}}$. Теперь снова используем свойство, но в обратном порядке: $\sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

з) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$ применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25}$.
Так как $5^2 = 25$, то $\sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

и) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{90}}$ применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{90}} = \sqrt{\frac{40}{90}}$.
Сократим дробь под корнем на 10: $\frac{40}{90} = \frac{4}{9}$.
Получаем $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

к) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{22,5}}$ применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{22,5}} = \sqrt{\frac{10}{22,5}}$.
Умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби: $\frac{10 \cdot 10}{22,5 \cdot 10} = \frac{100}{225}$.
Получаем $\sqrt{\frac{100}{225}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{225}} = \frac{10}{15}$.
Сократим полученную дробь на 5: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

л) Выражение $\sqrt{2} : \sqrt{338}$ можно записать в виде дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{338}}$.
Применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{338}} = \sqrt{\frac{2}{338}}$.
Сократим дробь под корнем на 2: $\frac{2}{338} = \frac{1}{169}$.
Получаем $\sqrt{\frac{1}{169}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{169}} = \frac{1}{13}$.
Ответ: $\frac{1}{13}$.

м) Выражение $\sqrt{40,5} : \sqrt{0,5}$ можно записать в виде дроби $\frac{\sqrt{40,5}}{\sqrt{0,5}}$.
Применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{40,5}}{\sqrt{0,5}} = \sqrt{\frac{40,5}{0,5}}$.
Умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 10: $\frac{40,5 \cdot 10}{0,5 \cdot 10} = \frac{405}{5} = 81$.
Получаем $\sqrt{81}$.
Так как $9^2 = 81$, то $\sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9.